Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2

5

的⊙C與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且點(diǎn)C在x軸的上方．
（1）求圓心C的坐標(biāo)；
（2）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，求這二次函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)M在（2）的二次函數(shù)圖象上，如果以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)垂徑定理即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，將點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式組成方程組，解方程組即可求得；
（3）分別從四邊形APBM、四邊形ABMP、四邊形ABPM是平行四邊形分析，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，注意不要漏解．

解答：解：（1）連接AC，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，垂直為H，
由垂徑定理得：AH=

1

2

AB=2，
則OH=1，
由勾股定理得：CH=4．
又點(diǎn)C在x軸的上方，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4）．

（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
由題意，得

0=a-b+c 0=9a+3b+c 4=a+b+c.

，
解這個(gè)方程組，得

a=-1 b=2 c=3.

，
∴這二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3．

（3）①當(dāng)四邊形APBM是平行四邊形時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MK⊥x軸，
∴PA=BM，∠AOP=∠BKM=90°，∠OAP=∠KBM，
∴△AOP≌△BKM，
則BK=OA=1，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，
∴y=-4+4+3=3，
∴此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3）；
②∵當(dāng)PM∥AB，PM=AB時(shí)，四邊形APMB是平行四邊形，
則設(shè)M的坐標(biāo)為（4，y），則可得y=-16+8+3=-5，
則此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，-5）；
③當(dāng)四邊形ABPM是平行四邊形時(shí)，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-4，y），
則可得y=-16-8+3=-21，
則此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-4，-21）．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3）或（4，-5）或（-4，-21）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、以及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．