Question

如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交AB于E，交⊙O于D．
求弦AD，CD的長及

CE

DE

的值．

Answer 1

分析：連接BD、OD，作CG⊥AB于G點，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，根據(jù)勾股定理計算出BC=8，利用三角形面積公式計算出CG=

24

5

，由∠DCA=∠DCB得到DA=DB，可判斷△ABD為等腰直角三角形，則AD=

2

2

AB=5

2

；然后利用CG∥OD得到△ECG∽△EDO，所以

GE

OE

=

CE

DE

=

CG

OD

=

24

25

，在△ACG中，根據(jù)勾股定理計算出AG=

18

5

，則OG=OA-AG=

7

5

，于是可分別計算出OE=

5

7

，GE=

24

35

，再根據(jù)勾股定理計算CE=

24 2

7

，DE=

25 2

7

，然后利用CD=CE+DE計算．

解答：解：連接BD、OD，作CG⊥AB于G點，如圖，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC=6，AB=10，
∴BC=

AB2-BC2

=8（cm），
∵

1

2

•CG•AB=

1

2

AC•BC，
∴CG=

AC•BC

AB

=

6×8

10

=

24

5

，
∵∠ACB的平分線交AB于E，
∴∠DCA=∠DCB，
∴DA=DB，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴AD=

2

2

AB=5

2

（cm）；
∴OD⊥AB，OD=5cm，
∵CG∥OD，
∴△ECG∽△EDO，
∴

GE

OE

=

CE

DE

=

CG

OD

=

24 5

5

=

24

25

，
在△ACG中，AG=

AC2-CG2

=

18

5

，
∴OG=OA-AG=5-

18

5

=

7

5

，
∵GE=

24

25

OE，
∴

24

25

OE+OE=

7

5

，解得OE=

5

7

，
∴GE=

24

25

×

5

7

=

24

35

，
在Rt△CGE中，CE=

CG2+GE2

=

( 24 5 )2+( 24 35 )2

=

24 2

7

，
在Rt△DOE中，DE=

OE2+OD2

=

( 5 7 )2+52

=

25 2

7

，
∴CD=CE+DE=

24 2

7

+

25 2

7

=7

2

（cm），
∴弦AD的長5

2

cm，CD的長為7

2

cm，

CE

DE

的值為

24

25

．

點評：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截得的三角形與原三角形相似；三角形相似的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．也考查了勾股定理和圓周角定理．