Question

己知方程x²-x-1=0的根是方程x⁶-px²+q=0的根，則p=    ，q=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)韋達(dá)定理求得設(shè)方程x²-x-1=0的二根分別為x₁、x₂，由韋達(dá)定理，得x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1；然后將x₁、x₂分別代入方程x⁶-px²+q=0列出方程組，再通過解方程組求得pq的值．
解答：解：設(shè)方程x²-x-1=0的二根分別為x₁、x₂，由韋達(dá)定理，得x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，則
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=-1+2=3，
（x₁²）²+（x₂²）²=（x₁²+x₂²）²-2x₁²•x₂²=7．
將x₁、x₂分別代入方程x⁶-px²+q=0，得
x₁⁶-px₁²+q=0…①
x₂⁶-px₂²+q=0…②
①-②，得
（x₁⁶-x₂⁶）-p（x₁²-x₂²）=0，
【（x₁²）³-（x₂²）³】-p（x₁²-x₂²）=0，
（x₁²-x₂²）【（x₁²）²+（x₂²）²+x₁²•x₂²】-p（x₁²-x₂²）=0，
由于x₁≠x₂，則x₁²-x₂²≠0，所以化簡，得
【（x₁²）²+（x₂²）²+x₁²•x₂²】-p=0，
則p=（x₁²）²+（x₂²）²+（x₁•x₂）²=7+（-1）²=8，
①+②，得
（x₁6+x₂6）-8（x₁²+x₂²）+2q=0，
【（x₁²）³+（x₂²）³】-24+2q=0，
∴（x₁²+x₂²）【（x₁²）²+（x₂²）²-x₁²•x₂²】-24+2q=0，
∴3【（x₁²）²+（x₂²）²-（x₁•x₂）²】-24+2q=0，
∴3（7-1）-24+2q=0，解得
q=3；
綜上所述，p=8，q=3．
故答案是：8、3．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．