Question

如圖，某漁船向正東方向以10海里/時的速度航行，在A處測得島C在北偏東的60°方向，1時后前進到B處，測得島C在北偏東30°方向，已知該島周圍9海里內有暗礁．
（1）B處離島C有多遠？
（2）如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？
（3）如果漁船在B處改為向東偏南15°方向前進，有無觸礁危險．

Answer 1

考點：解直角三角形的應用-方向角問題

專題：

分析：（1）通過證明∠ACB=∠CAB=30°，即可求出CB的長；
（2）本題實際上是問，C到AB的距離即CO是否大于9，如果大于則無觸礁危險，反之則有；
（3）過C做CD⊥BF交BF于D，交BO于E，求出CD的長度即可作出判斷．

解答：解：（1）CO為漁船向東航行到C道最短距離
∵在A處測得島C在北偏東的60°
∴∠CAB=30°
又∵B處測得島C在北偏東30°，
∴∠CBO=60°，∠ABC=120°，
∴∠ACB=∠CAB=30°，
∴AB=BC=10×1=10（海里）（等邊對等角）；

（2）∵CO⊥AB，∠CBO=60°
∴CO=5

3

（海里）＜9（海里）
故如果漁船繼續(xù)向東航行，有觸礁危險； 

（3）過C做CD⊥BF交BF于D，交BO于E，
CD=10×COS75°≈10×0.259＜9，
有觸礁危險．

點評：本題是將實際問題轉化為直角三角形中的數(shù)學問題，可通過作輔助線構造直角三角形，再把條件和問題轉化到這個直角三角形中，使問題解決．