Question

【題目】如圖，矩形ABCD的邊AB=4，且BC＞AB，一個(gè)量角器如圖所示放置，其中零刻度（即半圓O的直徑）與邊AB重合，點(diǎn)A處是0刻度，點(diǎn)B處是180刻度，點(diǎn)P是量角器的半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作半圓的切線，設(shè)點(diǎn)P的刻度數(shù)為m，過(guò)點(diǎn)P的切線交線段BC與線段AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．

（1）設(shè)∠PAB=n．
①如圖1，當(dāng)m=114°時(shí)，n=；
②直接寫出n與m的關(guān)系式：；
（2）試說(shuō)明AF·BE是否是一個(gè)定值，若是，請(qǐng)求出它的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)EF= 時(shí)，求點(diǎn)P的刻度數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】
（1）33°；解：∵OA=OP
∴∠APO=∠PAO=n
又∵∠AOP=m
∴2n+m=180°
∴n=90°-
（2）

解：AF·BE是一個(gè)定值，理由如下：

過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G．

∵AF，EF，BE是⊙O的切線

∴AF=PF，PE=BE， FE=PF+PE=AF+BE

在Rt△FGE中，GE2+GF2=FE2

∴（AF-BE）2+42=(AF+BE)2

∴AF·BE=4

（3）

解：設(shè)AF=x，BE=y

∴xy=4，EF=AF+BE=x+y=

∴（ -x）·x=4，即x 2- x+4=0

解得：x1=2 ，x2=

(ⅰ)當(dāng)x1=2 時(shí)，可求得FO=4

∴AO= FO，∴∠AFO=30°，∴∠AOF=60°

∴∠AOP=2∠AOF=120°

即m=120°．

(ⅱ)當(dāng)x2= 時(shí)，可求得FO=

∴∠AOF=30°，∴∠AOP=60°

即m=60°．

綜上可得，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的刻度m的值為120°或60°．

答：點(diǎn)P的刻度數(shù)m的值為120°或60°．

【解析】（1）連接OP，AOP是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可.
（2）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G，利用切線長(zhǎng)定理及勾股定理列等式，化簡(jiǎn)即可得出AF·BE=4.
（3）充分利用第（2）問(wèn)的結(jié)論，注意分(ⅰ)當(dāng)x1= 時(shí)和(ⅱ)當(dāng)x2=時(shí)兩種情況討論.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解切線長(zhǎng)定理(從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角)，還要掌握等腰三角形的性質(zhì)(等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．