Question

已知：如圖，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足為E，點D與點A關(guān)于點E對稱，PB分別與線段CF，AF相交于P，M．

（1）求證：AB=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，請你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解答：證明：（1）∵AF平分∠BAC，

∴∠CAD=∠DAB=∠BAC，

∵D與A關(guān)于E對稱，

∴E為AD中點，

∵BC⊥AD，

∴BC為AD的中垂線，

∴AC=CD．

在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：證全等也可得到AC=CD）

∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB，

∴∠ACE=∠ABE，

∴AC=AB（注：證全等也可得到AC=AB），

∴AB=CD．

（2）∠F=∠MCD，理由如下：

∵∠BAC=2∠MPC，

又∵∠BAC=2∠CAD，

∴∠MPC=∠CAD，

∵AC=CD，

∴∠CAD=∠CDA，

∴∠MPC=∠CDA，

∴∠MPF=∠CDM，

∵AC=AB，AE⊥BC，

∴CE=BE（注：證全等也可得到CE=BE），

∴AM為BC的中垂線，

∴CM=BM．（注：證全等也可得到CM=BM）

∵EM⊥BC，

∴EM平分∠CMB（等腰三角形三線合﹣）．

∴∠CME=∠BME（注：證全等也可得到∠CME=∠BME．），

∵∠BME=∠PMF，

∴∠PMF=∠CME，

∴∠MCD=∠F．（注：證三角形相似也可得到∠MCD=∠F）