Question

如圖1，在面積為3的正方形ABCD中，E、F分別是BC和CD邊上的兩點(diǎn)，AE⊥BF于點(diǎn)G，且BE=1，∠BAE=30°．

（1）求證：△ABE≌△BCF；

（2）求出△ABE和△BCF重疊部分（即△BEG）的面積；

（3）現(xiàn)將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)到△AB＇E＇（如圖2），使點(diǎn)E落在CD邊上的點(diǎn)E＇處，問(wèn)△ABE在旋轉(zhuǎn)前后與△BCF重疊部分的面積是否發(fā)生了變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明見解析；

（2）；

（3）沒(méi)有變化，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）要證△ABE≌△BCF，已知條件是AB=BC ，∠ABE=∠BCF=90°，只需要再有一條邊或一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等即可，而通過(guò)已知條件可以得到∠BAE=∠CBF，利用ASA即可證全等了；

（2）由（1）△ABE≌△BCF，可得∠FBC=∠BAE=30°，又BE=1，∠BGE=90°，從而可得GE=，利用勾股定理可得GB的長(zhǎng)，從而可得△BEG）的面積；

（3）由已知條件可得Rt△ABE≌Rt△AB＇E＇≌Rt△AD E＇， △BAG≌△HAG，從而可得S四邊形B’E’HG=S△AB’E’-S三角形AGH=S△ABE-S△ABG=S△BEG，即重疊部分的面積沒(méi)有變化.

試題解析：⑴∵正方形ABCD中，∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，

∴∠ABF+∠CBF=900，∵AE⊥BF， ∴∠ABF+∠BAE=900，

∴∠BAE=∠CBF， ∴△ABE≌△BCF.

⑵∵△ABE≌△BCF，∴∠FBC=∠BAE=30°，∵BE=1，∠BGE=90°，∴GE=，∴GB==

∴S△BGE=××=.

（3）沒(méi)有變化，易證Rt△ABE≌Rt△AB＇E＇≌Rt△AD E＇， △BAG≌△HAG，

∴S四邊形B’E’HG=S△AB’E’-S三角形AGH=S△ABE-S△ABG=S△BEG

∴△ABE在旋轉(zhuǎn)前后與△BCF重疊部分的面積沒(méi)有變化.

考點(diǎn)：1、正方形的性質(zhì)；2、三角形全等的判定與性質(zhì)；3、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；4、勾股定理.