Question

若關(guān)于x的方程

2k

x-1

-

x

x2-x

=

kx+1

x

只有一個(gè)解（相等的解也算作一個(gè)），試求k的值與方程的解．

Answer 1

分析：先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，把分式方程解的討論轉(zhuǎn)化為整式方程的解的討論，“只有一個(gè)解”內(nèi)涵豐富，在全面分析的基礎(chǔ)上求出k的值．

解答：解：原方程化為kx²+（2-3k）x-1=0①．
（1）當(dāng)k=0時(shí)，原方程有一個(gè)解，x=

1

2

；
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，方程①△=5k²+4（k-1）²＞0，總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
由題意知必有一個(gè)根是原方程的增根，從原方程知增根只能是0或1，顯然0不是①的根，
故x=1，得k=

1

2

．
綜上可知當(dāng)k=0時(shí)，原方程有一個(gè)解，x=

1

2

；
k=

1

2

時(shí)，x=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解分式方程．注意：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程不一定是等價(jià)轉(zhuǎn)化，有可能產(chǎn)生增根，分式方程只有一個(gè)解，可能是轉(zhuǎn)化后所得的整式方程只有一個(gè)解，也可能是轉(zhuǎn)化后的整式方程有兩個(gè)解，而其中一個(gè)是原方程的增根，故分式方程的解的討論，要運(yùn)用判別式、增根等知識(shí)全面分析．