【答案】
分析:(1)已知C,D的坐標(biāo),可在Rt△COD中用勾股定理求出CD的長(zhǎng)即菱形的邊長(zhǎng).菱形的面積就是4個(gè)Rt△COD的面積.BE的長(zhǎng)可用菱形的面積和菱形的邊長(zhǎng)來(lái)求得.
(2)①求△APQ的面積關(guān)鍵是求出底邊AP上的高,過Q作QG⊥AD于G,那么QG就是△APQ的高,可根據(jù)相似三角形△AQG和△ABE來(lái)求出QG的長(zhǎng),然后根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法即可得出關(guān)于S,t的函數(shù)關(guān)系式.然后根據(jù)得出的函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值,以及對(duì)應(yīng)的t的值.
②若要使△APQ沿它的一邊翻折,翻折前后的兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形,那么△APQ需滿足的條件為△APQ為等腰三角形.因此可分兩種情況進(jìn)行討論:
第一種情況:當(dāng)Q在CB上時(shí)(圖2);
由于AP=4<BE,而BE是AD,BC間的最短的線段,因此只有一種情況即AQ=PQ,可仿照二的方法,過點(diǎn)Q
1作Q
1M⊥AP,垂足為點(diǎn)M,Q
1M交AC于點(diǎn)F,可通過相似三角形△AMF∽△AOD∽△CQ
1F,求出FM的長(zhǎng);而Q
1M=BE,因此可求出Q1F的長(zhǎng),在直角三角形CQ
1F中,可根據(jù)∠ACB的正切值求出CQ
1的長(zhǎng),然后根據(jù)t=4即可求出k的值.
第二種情況:當(dāng)Q在AB上時(shí);
一,AP=AQ(圖3),此時(shí)P,Q
2關(guān)于x軸對(duì)稱,已知了AP=t=4,因此Q運(yùn)動(dòng)的路程為CB+AB-AP=6,根據(jù)t=4即可求出k的值.
二,AP=PQ(圖4),如果過P作PM⊥AB于B,那么△ANP∽△AEB,可根據(jù)相似得出的比例線段求出AN的長(zhǎng),也就能求出AQ
3的長(zhǎng),然后根據(jù)一的方法求出k的值.
解答:解:(1)菱形ABCD的邊長(zhǎng)是5,面積是24,高BE的長(zhǎng)是
;
(2)①由題意,得AP=t,AQ=10-2t.
如圖1,過點(diǎn)Q作QG⊥AD,垂足為G,由QG∥BE得△AQG∽△ABE,
∴
,
∴QG=
,
∴S=
AP•QG=-
t
2+
t
(
≤t<5).
∵S=-
(t-
)
2+6(
≤t<5).
∴當(dāng)t=
時(shí),S最大值為6.
②要使△APQ沿它的一邊翻折,翻折前后的兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì),只需△APQ為等腰三角形即可.
當(dāng)t=4秒時(shí),∵點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位,∴AP=4.
以下分兩種情況討論:
第一種情況:當(dāng)點(diǎn)Q在CB上時(shí),
∵PQ≥BE>PA,∴只存在點(diǎn)Q
1,使Q
1A=Q
1P.
如圖2,過點(diǎn)Q
1作Q
1M⊥AP,垂足為點(diǎn)M,Q
1M交AC于點(diǎn)F,則AM=
AP=2.
由△AMF∽△AOD∽△CQ
1F,得
,
∴FM=
,
∴
.
∴CQ
1=
=
.則
,∴
.
第二種情況:當(dāng)點(diǎn)Q在BA上時(shí),存在兩點(diǎn)Q
2,Q
3,
分別使AP=AQ
2,PA=PQ
3.
①若AP=AQ
2,如圖3,CB+BQ
2=10-4=6.
則
,
∴k=
.
②若PA=PQ
3,如圖4,過點(diǎn)P作PN⊥AB,垂足為N,
由△ANP∽△AEB,得
.
∵AE=
,
∴AN=
.
∴AQ
3=2AN=
,
∴BC+BQ
3=10-
則
.
∴
.
綜上所述,當(dāng)t=4秒,以所得的等腰三角形APQ
沿底邊翻折,翻折后得到菱形的k值為
或
或
.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了菱形的性質(zhì),圖形的翻折變換,相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)等知識(shí)點(diǎn),要注意(3)中,要跟Q點(diǎn)位置的不同分情況進(jìn)行討論,不要漏解.