Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是梯形，OA∥BC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（12，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，8），點(diǎn)C在y軸的正半軸上．動(dòng)點(diǎn)Q在OA上運(yùn)動(dòng)，從O點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)，速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度；動(dòng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)，速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止，設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，QP⊥CQ？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ的面積有最大（�。┲�？并求出最大（�。┲担�

Answer 1

解：作PG⊥OC于G、BM⊥OA于M、PN⊥OA于N，
延長(zhǎng)NP交CB于H，得PG∥ON，BM∥PN，PH⊥BC．

（1）∵當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至AB的中點(diǎn)時(shí)，
∴AP=BP，CG=OG，
∴PG=（CB+OA）=9，PN=BM=4，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（9，4）；

（2）∵BM=8，AM=6，
∴AB=10，
又∵BM⊥MN，
∴△MBA∽△NPA，
可得AN=t，PN=t，
若QP⊥CQ，則應(yīng)有△OCQ∽△NQP，
∴=，
得t=（秒），
當(dāng)t=s時(shí)，QP⊥CQ；

（3）設(shè)△CPQ的面積為S，
S=S_梯形ABCD-S_△OCQ-S_△AQP-S_△PCB
=72-×8×2t-（12-2t）t-×6×（8-t）
=t²-t+48
=+
∵0＜t≤6，
∴當(dāng)t=6s時(shí)，△CPQ的面積取得最小值為．
分析：（1）作輔助線，根據(jù)題意即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)；
（2）易得△MBA∽△NPA，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出的等量關(guān)系即可得出此時(shí)t的值；
（3）由于三角形CPQ的面積無(wú)法直接求出，因此可用其他圖形的面積的“和，差”關(guān)系來(lái)求．△CPQ的面積=梯形ABCD的面積-△OCQ的面積-△AQP的面積-△PCB的面積．可據(jù)此來(lái)得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合了梯形的性質(zhì)考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的基本思路，難度適中．