Question

m為何值時，方程x²+mx-3=0與方程x²-4x-（m-1）=0有一個公共根？并求出這個公共根．

Answer 1

【答案】分析：如果設(shè)這個公共根為α，那么根據(jù)兩根之和的表達式，可知方程x²+mx-3=0的兩根為α、-m-α；方程x²-4x-（m-1）=0的兩根為α、4-α．再根據(jù)兩根之積的表達式，可知α（-m-α）=-3 ①，α（4-α）=-（m-1）②．聯(lián)立①②，即可求出α、m的值．
解答：解：設(shè)這個公共根為α．
則方程x²+mx-3=0的兩根為α、-m-α；方程x²-4x-（m-1）=0的兩根為α、4-α，
由根與系數(shù)的關(guān)系有：α（-m-α）=-3 ①，α（4-α）=-（m-1） ②．
由②得 m=1-4α+α²③，
把③代入①得：α³-3α²+α-3=0，
即（α-3）（α²+1）=0，
∴α=3．
把α=3代入③得：m=-2．
∴當m=-2時，兩個方程有一個公共根，這個公共根是3．
點評：本題主要考查了公共根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及由兩個二元二次方程組成的方程組的解法．高次方程組的解法在初中教材中不要求掌握，屬于競賽題型，本題有一定難度．