【題目】“低碳環(huán)保”已經(jīng)成為一種生活理念,同時(shí)也帶來無限商機(jī).某高科技發(fā)展公司投資2000萬元成功研制出一種市場需求量較大的低碳高科技產(chǎn)品.已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本是40元,在銷售過程中發(fā)現(xiàn):當(dāng)銷售單價(jià)定為100元時(shí),年銷售量為20萬件;銷售單價(jià)每增加10元,年銷售量將減少1萬件,設(shè)銷售單價(jià)為x(元),年銷售量為y(萬件),年獲利為z(萬元).(年獲利=年銷售額﹣生產(chǎn)成本﹣投資)
(1)試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)請(qǐng)通過計(jì)算說明,到第一年年底,當(dāng)z取最大值時(shí),銷售單價(jià)x定為多少?此時(shí)公司是盈利了還是虧損了?
(3)若該公司計(jì)劃到第二年年底獲利不低于1130萬元,請(qǐng)借助函數(shù)的大致圖象說明,第二年的銷售單價(jià)x(元)應(yīng)確定在什么范圍內(nèi)?

【答案】
(1)解:依題意知,當(dāng)銷售單價(jià)定為x元時(shí),年銷售量減少 (x﹣100)萬件,

∴y=20﹣ (x﹣100)=﹣ x+30,

即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=﹣ x+30.

由題意得:

z=y(x﹣40)﹣2000

=(30﹣ x)(x﹣40)﹣2000

=﹣ x2+34x﹣3200,

即z與x之間的函數(shù)關(guān)系是z=﹣ x2+34x﹣3200


(2)解:∵z=﹣ x2+34x﹣3200,

=﹣ (x﹣170)2﹣310.

∴當(dāng)x=170時(shí),z取最大值,為﹣310,

即當(dāng)銷售單價(jià)為170元,年獲利最大,并且第一年年底公司還差310萬元就可收回全部投資.


(3)解:第二年的銷售單價(jià)定為x元時(shí),年獲利為:

z=(30﹣ x)(x﹣40)﹣310=﹣ x2+34x﹣1510.

當(dāng)z=1130時(shí),即1130=﹣ x2+34x﹣1510,

整理得x2﹣340x+26400=0,

解得:x1=120,x2=220.

函數(shù)z=﹣ x2+34x﹣1510的圖象大致如圖所示,

由圖象可以看出:當(dāng)120≤x≤220時(shí),z≥1130.

故第二年的銷售單價(jià)應(yīng)確定在不低于120元且不高于220元的范圍內(nèi).


【解析】(1)當(dāng)銷售單價(jià)定為x元時(shí),依據(jù)題意可知年銷售量減少(x-100),從而可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而由題意易得z與x之間的函數(shù)關(guān)系;
(2)利用配方法對(duì)z與x的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行變形,從而可得出當(dāng)x=170時(shí),z取最大值;即可得出公司是盈利了還是虧損;
(3)首先令獲得的利潤為1130萬元列出方程,然后從而可求得此時(shí)x的值,然后依據(jù)函數(shù)的圖形可確定出利潤不低于1130萬元時(shí),自變量x的取值范圍.

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