Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作⊙O的切線與軸相交于點(diǎn)A，與軸相交于點(diǎn)B。

（1）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長度頁在發(fā)生變化，請寫出線段AB長度的最小值，并說明理由；

（2）在⊙O上是否存在一點(diǎn)Q，使得以Q、O、A、P為頂點(diǎn)的四邊形時(shí)平行四邊形？若存在，請求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）線段AB長度的最小值為4

理由如下：

連接OP因?yàn)锳B切⊙O于P，所以O(shè)P⊥AB

取AB的中點(diǎn)C，則               …………3分

當(dāng)時(shí)，OC最短，

即AB最短，此時(shí)                     …………4分

（2）設(shè)存在符合條件的點(diǎn)Q，

如圖①，

設(shè)四邊形APOQ為平行四邊形，

因?yàn)樗倪呅蜛POQ為矩形

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/2012092009212528048458/SYS201209200922337584213783_DA.files/image005.png">

所以四邊形APOQ為正方形

所以，

在Rt△OQA中，根據(jù)，

得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）。          …………7分

如圖②，設(shè)四邊形APQO為平行四邊形

因?yàn)镺Q∥PA，，

所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/2012092009212528048458/SYS201209200922337584213783_DA.files/image005.png">

所以，

因?yàn)?PQ∥OA，

所以 軸。

設(shè)軸于點(diǎn)H，

在Rt△OHQ中，根據(jù)，

得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）

所以符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）或（）。

【解析】（1）如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為C，連接OP，由于AB是圓的切線，故△OPC是直角三角形，有OP＜OC，所以當(dāng)OC與OP重合時(shí)，OC最短；

（2）分兩種情況：如圖（1），當(dāng)四邊形APOQ是正方形時(shí)，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，﹣），如圖（2），可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣，）．