Question

在△ABC中，AB=AC．
（1）如圖1，若∠A=90°，求∠B的度數(shù)；
（2）設(shè)∠BAC=α，點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后到達(dá)AE位置，連接DE、CE，設(shè)∠BCE=β，如圖2所示．
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試找出α與β之間的關(guān)系，并說明理由；
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)加以說明；若不成立，試找出α與β之間的新關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=90°，
∴∠B=45°；

（2）①∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE．
又AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE．
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=β．
∴α+β=180°；
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論不能成立，此時(shí)：α=β成立．其理由如下：
類似（2）可證△DAB≌△ECA，
∴∠DBA=∠ECA．
又由三角形外角性質(zhì)有∠DBA=α+∠DCA，
而∠ACE=β+∠DCA，
∴α=β．
分析：（1）由AB=AC，得∠B=∠C，再由∠A=90°，求出∠B；
（2）①根據(jù)已知條件∠BAC=∠DAE=α，則∠BAD=∠CAE．可證明△ABD≌△ACE．則∠B=∠ACE，∠B+∠ACB=β，從而得出α+β=180°；
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論不能成立，可證△DAB≌△ECA，則∠DBA=∠ECA．根據(jù)∠DBA=α+∠DCA，則∠ACE=β+∠DCA，從而得出α=β．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．