Question

如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA=3，OC=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處．
（1）直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（2）若P在坐標(biāo)軸上，且以點(diǎn)E、F、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長最�。咳绻�存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，可以知道四邊形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，則CF=3-2=1，因而E、F的坐標(biāo)就可以求出．
（2）由于P點(diǎn)位置不能確定，故應(yīng)分點(diǎn)P在x軸上與y軸上兩種情況進(jìn)行討論；
（3）作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N就是所求點(diǎn)．求出線段E′F′的長度，就是四邊形MNFE的周長的最小值．

解答：解：（1）E（3，1）；F（1，2）．

（2）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時，
∵EF與OC不可能平行，
∴PE∥CF，
∵E（3，1），
∴P（0，1）；
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時，如圖2所示，
∵CF∥x軸，點(diǎn)E（3，1），
∴EF∥PC，
設(shè)P（n，0），直線EF的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵E（3，1），F(xiàn)（1，2），
∴

3k+b=1 k+b=2

，解得

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴直線EF的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

，
∴設(shè)直線PC的解析式為y=-

1

2

x+a，
∵C（0，2），
∴a=2，
∴直線PC的解析式為y=-

1

2

x+2，
把P（n，0），代入得，-

1

2

n+2=0，解得n=4，
∴P（4，0）．
綜上所述，P（0，1）或（4，0）；

（3）存在點(diǎn)M，N，使得四邊形MNFE的周長最�。�
如圖3，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)F′，
連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N就是所求點(diǎn)．
∴E′（3，-1），F(xiàn)′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′．
∴BF′=4，BE′=3．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=

32+42

=5．
又∵EF=

5

，
∴FN+MN+ME+EF=5+

5

，
此時四邊形MNFE的周長最小值是5+

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求線段的和最小的問題基本的解決思路是根據(jù)對稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離的問題．