Question

Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，點P為CB延長線上的一點，PE延長交AC于G，PE=PF，下列結(jié)論：
①PE為⊙O的切線；②G為AC的中點；③OG∥BE；④∠A=∠P 
其中正確的有

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

C
分析：首先連接OE，CE，由OE=OD，PE=PF，易得∠OED+∠PEF=∠ODE+∠PFE，又由OD⊥BC，可得OE⊥PE，繼而證得PE為⊙O的切線；
又由BC是直徑，可得OE⊥AB，由切線長定理可得GC=GE，繼而證得AG=GE，則可得G為AC的中點；
易證得OG是△ABC的中位線，則可得OG∥BE；
由于在Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，在Rt△POE中，∠P+∠POE=90°，而∠POE不一定等于∠ABC，則可得∠A不一定等于∠P．
解答：連接OE，CE，
∵OE=OD，PE=PF，
∴∠OED=∠ODE，∠PEF=∠PFE，
∵OD⊥BC，
∴∠ODE+∠OFD=90°，
∵∠OFD=∠PFE，
∴∠OED+∠PEF=90°，
即OE⊥PE，
∵點E⊙O上，
∴PE為⊙O的切線；故①正確；
∵BC是直徑，
∴∠BEC=90°，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切線，
∴EG=CG，
∴∠GCE=∠GEC，
∵∠GCE+∠A=90°，∠GEC+∠AEG=90°，
∴∠A=∠AEG，
∴AG=EG，
∴AG=CG，
即G為AC的中點；故②正確；
∵OC=OB，
∴OG是△ABC的中位線，
∴OG∥AB，
即OG∥BE，故③正確；
在Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，
在Rt△POE中，∠P+∠POE=90°，
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
但∠POE不一定等于∠ABC，
∴∠A不一定等于∠P．故④錯誤．
故選C．
點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)、切線長定理、圓周角定理、三角形中位線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．