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直角梯形ABCD中,ADBC,∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3,在腰AB上有一動點P.
(1)連接DP、CP,使得△PAD與△PBC相似,求出此時AP的長;
(2)若點P在直線AB上運動則滿足上述條件的P共有______個;
(3)在直線AB上存在一點M,使得△DMC周長最小,直接寫出AM的長,并求出△DMC的周長.
(1)分兩種情況:
①如果△PAD△PBC,
則PA:PB=AD:BC=2:3,
又PA+PB=AB=7,
∴AP=7×2÷5=2.8;
②如果△PAD△CBP,
則PA:BC=AD:BP,
即PA•PB=2×3=6,
又∵PA+PB=AB=7,
∴PA、PB是一元二次方程x2-7x+6=0的兩根,
解得x1=1,x2=6,
∴AP=1或6.
綜上,可知AP=2.8或1或6.

(2)若點P在直線AB上運動則滿足上述條件的P共有6個;

(3)延長CB到C′,使C′B=CB,連接DC′,交AB于點M.
此時△DMC周長最小,AM=2.8.
在△ADM中,∠A=90°,AD=2,AM=2.8,∴DM=
2
5
74

在△BCM中,∠B=90°,BC=3,BM=4.2,∴CM=
3
5
74

CD=
72+12
=5
2

故△DMC的周長=DM+CM+CD=
74
+5
2
練習冊系列答案
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