Question

如圖，直角梯形OABC，A（7，0），C（0，4），AB=5，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度沿C-O-A的折線運(yùn)動(dòng)，直線MQ始終與x軸垂直，且同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿A-O平移，與折線ABC交于點(diǎn)Q，與x軸交于點(diǎn)M，P、M中有一個(gè)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)隨即而停止，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）
（1）求：點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)△CPQ的面積為S，求：S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
（3）若動(dòng)線段PQ的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），在0≤t≤3范圍內(nèi)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式和動(dòng)點(diǎn)N走過的路程．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）作BD⊥OA，垂足為點(diǎn)D，由勾股定理求得AD的長，直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）分情況探討△CPQ的面積：點(diǎn)P在CO上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在OA上運(yùn)動(dòng)，分別用用t表示三角形的面積求出答案；
（3）求出過AB兩點(diǎn)的直線，進(jìn)一步用t和中點(diǎn)坐標(biāo)表示出（x，y），求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，再進(jìn)一步利用勾股定理解決問題．

解答：解：（1）如圖，作BD⊥OA，垂足為點(diǎn)D，

由C（0，4）可知BD=4，
AD=

52-42

=3，
∴OD=4，
點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，4）．
（2）分兩種情況探討，
①當(dāng)P在CO上運(yùn)動(dòng)，如圖

0＜t≤4時(shí)，
S_△CPQ=

1

2

t（7-t）
=-

1

2

（t-

7

2

）²+

49

8

；
△CPQ的面積最大為

49

8

．
②當(dāng)P在AO上運(yùn)動(dòng)，如圖
S=

1

2

（7-t）•4=-2t+

7

2

高為4，當(dāng)t=3時(shí)，
△CPQ的面積最大，
S_△CPQ=

1

2

×4×3=6；
由以上可知△CPQ的面積最大為

49

8

．
（3）如圖

作AD⊥CB的延長線于D，
∵A（7，0），C（0，4），AB=5
∴AD=4
∴BD=

AB2-AD2

=3
∴B（4，4）
根據(jù)A（7，0），B（4，4）可求出直線AB的解析式為：y=-

4

3

x+

28

3

又0≤t≤3，
∴PQ的運(yùn)動(dòng)范圍在AB之間且從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿AO平移
∴在t時(shí)AM=t
∴M（7-t，0）
將x=7-t代入y=-

4

3

x+

28

3

解得：y=

4

3

t
∴Q（7-t，

4

3

t）
在t時(shí)，CP=t
∴P（0，4-t）
設(shè)PQ的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），則有：
x=

7-t+0

2

，得t=7-2x（2≤x≤

7

2

）
y=

4 3 t+4-t

2

，得t=6y-12；
∴7-2x=6y-12
整理后得：y=-

1

3

x+

19

6

（2≤x≤

7

2

）；
當(dāng)t=0時(shí)x=

7

2

，y=2；
當(dāng)t=3時(shí)x=2，y=

5

2

∴動(dòng)點(diǎn)N走過的路程=

(2- 7 2 )2+( 5 2 -2)2

=

10

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了一次函數(shù)、勾股定理以及求中點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)用來解決一次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題．