【題目】如圖,半圓O的直徑MN=6cm,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=6cm,半圓O以1cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過程中,點(diǎn)M、N始終在直線BC上,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),當(dāng)t=0s時(shí),半圓O在△ABC的左側(cè),OC=4cm.
(1)當(dāng)t為何值時(shí),△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切?
(2)當(dāng)△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在圓相切時(shí),如果半圓O與直線MN圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分,求重疊部分的面積.
【答案】(1)1s、4s、7s、16s;(2)
【解析】試題分析:
(1)結(jié)合題意可知,本題存在四種可能,故分以下四種情況討論計(jì)算即可:①如圖1,圓O在直線AC左側(cè)和直線AC相切;②如圖2,圓O和直線AB左側(cè)和直線AB相切;③如圖3,圓O在直線AC右側(cè)和直線AC相切;④如圖4,圓O在直線AB右側(cè)和直線AB相切;
(2)由(1)可知,在圖2和圖3的情形中,半圓O和△ABC有重疊部分,按圖分情況計(jì)算即可.
試題解析:
(1)①如圖1所示:當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí),AC⊥OC,OC=ON=3cm,
∴AC與半圓O所在的圓相切.
∴此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了1cm,故運(yùn)動(dòng)時(shí)間為:t=1(s)
②如圖2所示;
當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),過點(diǎn)O作OF⊥AB,垂足為F.
∵在Rt△FOB中,∠FBO=30°,OB=6cm,
∴OF=3cm,即OF等于半圓O的半徑,
∴AB與半圓O所在的圓相切.
此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了4cm,故運(yùn)動(dòng)時(shí)間為:t=4(s)
③如圖3所示;過點(diǎn)O作OH⊥AB,垂足為H.
當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí),AC⊥OC,OC=OM=3cm,
∴AC與半圓O所在的圓相切.
此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了7cm,故運(yùn)動(dòng)時(shí)間為:t=7(s).
④如圖4所示;
當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的右側(cè),且OB=6cm時(shí),過點(diǎn)O作OQ⊥AB,垂足為Q.
∵在Rt△QOB中,∠OBQ=30°,
∴OQ=OB=3cm,即OQ等于半圓O所在的圓的半徑,
∴直線AB與半圓O所在的圓相切.
此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了16cm,所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為:t=16(s).
綜上所述:當(dāng)點(diǎn)的值為1s,4s,7s,16s時(shí),半圓O所在圓和△ABC的邊所在直線相切.
(2)當(dāng)△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時(shí),半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分的只有如圖2與3所示的兩種情形.
①如圖2所示:重疊部分是圓心角為90°,半徑為3cm的扇形,所求重疊部分面積=(cm2);
②如圖③所示:
設(shè)AB與半圓O的交點(diǎn)為P,連接OP,過點(diǎn)O作OH⊥AB,垂足為H.
則PH=BH.
∵在Rt△OBH中,∠OBH=30°,OB=3cm
∴OH=1.5cm,BH=cm,BP=cm,
∴S△POB=BPOH=(cm2).
又∵∠DOP=2∠DBP=60°,
∴S扇形DOP=(cm2),
∴所求重疊部分面積為:S△POB+S扇形DOP=(cm2).
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,過點(diǎn)A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,F為線段DE上一點(diǎn),且∠AFE=∠B.
(1)求證:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=,AF=,求AE的長.
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【題目】定義:在等腰三角形中,對于頂角的每一個(gè)確定的值,其底邊與腰的比值都是唯一確定的,這個(gè)比值是頂角的正對函數(shù).例如:圖①,在△ABC中,AB=AC,頂角A的正對函數(shù)記作sadA,sadA=或sadA=.
(1)在圖①中,若∠B=60°,則sadA= .
(2)如圖②,在△ABC中,AB=AC,若∠BAC=120°,求sad∠BAC.
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,直接寫出三個(gè)內(nèi)角的正對函數(shù)值.
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【題目】某種商品的標(biāo)價(jià)為200元,按標(biāo)價(jià)的八折出售,這時(shí)仍可盈利25%,若設(shè)這種商品的進(jìn)價(jià)是x元,由題意可列方程為 .
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BC為⊙O的切線,D為⊙O上的一點(diǎn),CD=CB,延長CD交BA的延長線于點(diǎn)E.
(1)求證:CD為⊙O的切線;
(2)若BD的弦心距OF=1,∠ABD=30°,求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)
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【題目】我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”.如圖,直線l: 與x軸、y軸分別交于A、B,∠OAB=30,點(diǎn)P在x軸上,⊙P與l相切,當(dāng)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí),使得⊙P成為整圓的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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【題目】已知:⊙O的半徑為25cm,弦AB=40cm,弦CD=48cm,AB∥CD.求這兩條平行弦AB,CD之間的距離______________.
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