Question

觀察等式找規(guī)律：
①a₁=2²-1=1×3；
②a₂=4²-1=3×5；
③a₃=6²-1=5×7；
…
（1）寫出表示a₄，a₅的等式；
（2）寫出表示a_n的等式（用字母n表示）；
（3）求+++…的值．

Answer 1

解：（1）∵a₁=2²-1=1×3；a₂=4²-1=3×5；a₃=6²-1=5×7；
∴a₄=8²-1=7×9；
a₅=10²-1=9×11；
（2）∵a₁=（2×1）²-1=（2-1）×（2+1），
a₂=（2×2）²-1=（4-1）×（4+1），
a₃=（2×3）²-1=（6-1）×（6+1），
…，
a_n=（2×n）²-1=4n²-1=（2n-1）（2n+1）；
（3）∵a₁=2²-1=1×3；a₂=4²-1=3×5；a₃=6²-1=5×7；
===（1-）；
==×（-）；
==×（-）；
∴+++…=×（1-）+×（-）+…+×（-），
=×（1-+-+…+-），
=×（1-），
=．
分析：（1）根據(jù)a₁，a₂，a₃的值，可直接得出a₄和a₅的值；
（2）根據(jù)a₁=（2×1）²-1=（2-1）×（2+1），a₂=（2×2）²-1=（4-1）×（4+1），找出規(guī)律，可得出a_n=（2×n）²-1=4n²-1=（2n-1）（2n+1）；
（3）根據(jù)（2）得出的規(guī)律，再找出，，的式子規(guī)律，分子不變，為1，分母是兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積，它們與式子序號之間的關(guān)系為：序號的2倍減1和序號的2倍加1，根據(jù)這規(guī)律把數(shù)代入計算即可．
點評：此題考查了數(shù)字的變化類，是一道找規(guī)律的題目，要求學生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．