Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0）、B（0，1）、C（d，2）．

（1）求d的值；
（2）將△ABC沿x軸的正方向平移，在第一象限內(nèi)B、C兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上．請求出這個(gè)反比例函數(shù)和此時(shí)的直線B′C′的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線BC交y軸于點(diǎn)G．問是否存在x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)P，使得四邊形PGMC′是平行四邊形？如果存在，請求出點(diǎn)M和點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作CN⊥x軸于點(diǎn)N，

∵A（﹣2，0）、B（0，1）、C（d，2），

∴OA=2，OB=1，CN=2，

∵∠CAB=90°，即∠CAN+∠BAO=90°，

又∵∠CAN+∠ACN=90°，

∴∠BAO=∠ACN，

在Rt△CNA和Rt△AOB中，

∵ ，

∴Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），

∴NC=OA=2，AN=BO=1，

∴NO=NA+AO=3，又點(diǎn)C在第二象限，

∴d=﹣3；

（2）

解：設(shè)反比例函數(shù)為y= （k≠0），點(diǎn)C′和B′在該比例函數(shù)圖象上，

設(shè)C′（m，2），則B′（m+3，1），

把點(diǎn)C′和B′的坐標(biāo)分別代入y= ，得k=2m；k=m+3，

∴2m=m+3，

解得：m=3，

則k=6，反比例函數(shù)解析式為y= ，點(diǎn)C′（3，2），B′（6，1），

設(shè)直線C′B′的解析式為y=ax+b（a≠0），

把C′、B′兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：

，

∴解得： ；

∴直線C′B′的解析式為y=﹣ x+3；

（3）

解：存在x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)P，使得四邊形PGMC′是平行四邊形，理由為：

設(shè)Q是G C′的中點(diǎn)，令y=﹣ x+3中x=0，得到y(tǒng)=3，

∴G（0，3），又C′（3，2），

∴Q（ ， ），

過點(diǎn)Q作直線l與x軸交于M′點(diǎn)，與y= 的圖象交于P′點(diǎn)，

若四邊形P′G M′C′是平行四邊形，則有P′Q=Q M′，

易知點(diǎn)M′的橫坐標(biāo)大于 ，點(diǎn)P′的橫坐標(biāo)小于 ，

作P′H⊥x軸于點(diǎn)H，QK⊥y軸于點(diǎn)K，P′H與QK交于點(diǎn)E，作QF⊥x軸于點(diǎn)F，

∵QF∥P′E，

∴∠M′QF=∠QP′E，

在△P′EQ和△QFM′中，

∵ ，

∴△P′EQ≌△QFM′（AAS），

∴EQ=FM′，P′Q=QM′，

設(shè)EQ=FM′=t，

∴點(diǎn)P′的橫坐標(biāo)x= ﹣t，點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)y=2yQ=5，點(diǎn)M′的坐標(biāo)是（ +t，0），

∴P′在反比例函數(shù)圖象上，即5（ ﹣t）=6，

解得：t= ，

∴P′（ ，5），M′（ ，0），

則點(diǎn)P′為所求的點(diǎn)P，點(diǎn)M′為所求的點(diǎn)M．

【解析】（1）過C作CN垂直于x軸，交x軸于點(diǎn)N，由A、B及C的坐標(biāo)得出OA，OB，CN的長，由∠CAB=90°，根據(jù)平角定義得到一對角互余，在直角三角形ACN中，根據(jù)兩銳角互余，得到一對角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AC=BC，利用AAS到三角形ACN與三角形AOB全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出CN=0A，AN=0B，由AN+OA求出ON的長，再由C在第二象限，可得出d的值；（2）由第一問求出的C與B的橫坐標(biāo)之差為3，根據(jù)平移的性質(zhì)得到縱坐標(biāo)不變，故設(shè)出C′（m，2），則B′（m+3，1），再設(shè)出反比例函數(shù)解析式，將C′與B′的坐標(biāo)代入得到關(guān)于k與m的兩方程，消去k得到關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出k的值，得到反比例函數(shù)解析式，設(shè)直線B′C′的解析式為y=ax+b，將C′與B′的坐標(biāo)代入，得到關(guān)于a與b的二元一次方程組，求出方程組的解得到a與b的值，即可確定出直線B′C′的解析式；（3）存在x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)P，使得四邊形PGMC′是平行四邊形，理由為：設(shè)Q為GC′的中點(diǎn)，令第二問求出的直線B′C′的解析式中x=0求出y的值，確定出G的坐標(biāo)，再由C′的坐標(biāo)，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出Q的坐標(biāo)，過點(diǎn)Q作直線l與x軸交于M′點(diǎn)，與y= 的圖象交于P′點(diǎn)，若四邊形P′G M′C′是平行四邊形，則有P′Q=Q M′，易知點(diǎn)M′的橫坐標(biāo)大于 ，點(diǎn)P′的橫坐標(biāo)小于 ，作P′H⊥x軸于點(diǎn)H，QK⊥y軸于點(diǎn)K，P′H與QK交于點(diǎn)E，作QF⊥x軸于點(diǎn)F，由兩直線平行得到一對同位角相等，再由一對直角相等及P′Q=QM′，利用AAS可得出△P′EQ與△QFM′全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，設(shè)EQ=FM′=t，由Q的橫坐標(biāo)﹣t表示出P′的橫坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式確定出P′的縱坐標(biāo)，進(jìn)而確定出M′的坐標(biāo)，根據(jù)P′H﹣EH=P′H﹣QF表示出P′E的長，又P′Q=QM′，分別放在直角三角形中，利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，進(jìn)而確定出P′與M′的坐標(biāo)，此時(shí)點(diǎn)P′為所求的點(diǎn)P，點(diǎn)M′為所求的點(diǎn)M．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的全等三角形的性質(zhì)，需要了解全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等才能得出正確答案．