Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（0，0）、（20，0）、（20，10）．在線段AC、AB上各有一動(dòng)點(diǎn)M、N，則當(dāng)BM+MN為最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是    ．

Answer 1

【答案】分析：先確定點(diǎn)M、N的位置：作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B′作B′N(xiāo)⊥OB于N，B′N(xiāo)交AC于M．連接OB′，交DC于P，再根據(jù)矩形、軸對(duì)稱(chēng)、等腰三角形的性質(zhì)得出PA=PC，那么在Rt△ADP中，運(yùn)用勾股定理求出PA的長(zhǎng)，然后由cos∠B′ON=cos∠OPD，求出ON的長(zhǎng)，由tan∠MON=tan∠OCD，求出MN的長(zhǎng)，即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解答：解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B′作B′N(xiāo)⊥OB于N，B′N(xiāo)交AC于M，則B′N(xiāo)=B′M+MN=BM+MN，B′N(xiāo)的長(zhǎng)就是BM+MN的最小值．
連接OB′，交DC于P．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC=∠PCA，
∵點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B′，
∴∠PAC=∠BAC，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PA=PC．
令PA=x，則PC=x，PD=20-x．
在Rt△ADP中，∵PA²=PD²+AD²，
∴x²=（20-x）²+10²，
∴x=12.5．
∵cos∠B′ON=cos∠OPD，
∴ON：OB′=DP：OP，
∴ON：20=7.5：12.5，
∴ON=12．
∵tan∠MON=tan∠OCD，
∴MN：ON=OD：CD，
∴MN：12=10：20，
∴MN=6．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（12，6）．
故答案為（12，6）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，有一定難度，根據(jù)垂線段最短作出輔助線，確定點(diǎn)M、N的位置是解答此題的關(guān)鍵．