Question

已知：拋物線y=ax²+2x+c，對(duì)稱軸為直線x=-1，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A（-3，0）、B兩點(diǎn)．
（1）求直線AC的解析式；
（2）若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值；
（3）P為拋物線上一點(diǎn)，若以線段PB為直徑的圓與直線BC切于點(diǎn)B，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由對(duì)稱軸為直線x=-1，與x軸交于A（-3，0）、B兩點(diǎn)，求出a的值與B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線AC的解析式；
（2）將四邊形ABCD面積用同一未知數(shù)表示，求出二次函數(shù)的最值即可，
（3）以線段PB為直徑的圓與直線BC切于點(diǎn)B，作出圖形，由三角形相似求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵對(duì)稱軸
∴a=1∵A（-3，0）∴c=-3
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b
∵A（-3，0），C（0，-3），代入得：
直線AC的解析式為y=-x-3

（2）代數(shù)方法一：
過(guò)點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M、N．
設(shè)D（x，x²+2x-3），則M（x，-x-3）
∵S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD
=
=
=
=
∴當(dāng)時(shí)，四邊形ABCD面積有最大值．
代數(shù)方法二：S_{四邊形ADCB}=S_△ADN+S_梯形NDCO+S_△OBC
=
=
∴當(dāng)時(shí)，四邊形ABCD面積有最大值．
幾何方法：
過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線l，設(shè)直線l的解析式為y=-x+b．
由得：x²+3x-b-3=0
當(dāng)△=3²-4（-b-3）=0時(shí)，直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)
即：當(dāng)時(shí)，△ADC的面積最大，四邊形ABCD面積最大
此時(shí)公共點(diǎn)D的坐標(biāo)為
S_{四邊形ADCB}=S_△ADN+S_梯形NDCO+S_△OBC

=
即：當(dāng)時(shí)，四邊形ABCD面積有最大值．

（3）如圖所示，因?yàn)锳（-3，0），拋物線對(duì)稱軸為直線x=-1，
由拋物線的軸對(duì)稱性可求得B（1，0），
∵以線段PB為直徑的圓與直線BC切于點(diǎn)B，
∴過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線交拋物線于一點(diǎn)，則此點(diǎn)必為點(diǎn)P．
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵A（-3，0），C（0，-3），
∴PB=BC，PE=OB，
∴Rt△PEB∽R(shí)t△BOC
∴，故EB=3PE，
設(shè)P（x，x²+2x-3），∵B（1，0）
∴BE=1-x，PE=x²+2x-3，則1-x=3（x²+2x-3），
解得x₁=1（不合題意舍去），，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性，以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題和相似三角形的判定．