Question

如圖，△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與邊AB、BC分別交于點(diǎn)D、E．過E作直線與AB垂直，垂足為F，且與AC的延長線交于點(diǎn)G．
（1）判斷直線FG與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若BF=1，CG=2，求⊙O半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連結(jié)OE，由AB=AC得∠B=∠ACB，由半徑相等知∠OEC=∠ACB，所以∠B=∠OEC，OE∥AB，可得OE⊥GF，直線FG與⊙O相切．  
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=r，AB=AC=2r．AF=2r-1，OG=r+2，AG=2r+2．再由△GOE∽△GAF，

OE

AF

=

OG

AG

，解得r=2．

解答：解：（1）連結(jié)OE，

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
又∵OC=OE，
∴∠OEC=∠ACB．
∴∠B=∠OEC，
∴OE∥AB．  
∵AB⊥GF，
∴OE⊥GF．      
∵點(diǎn)E在⊙O上，
∴直線FG與⊙O相切．  
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=r，AB=AC=2r．
∵BF=1，CG=2，
∴AF=2r-1，OG=r+2，AG=2r+2．  
∵OE∥AB，
∴△GOE∽△GAF，
∴

OE

AF

=

OG

AG

，
∴

r

2r-1

=

r+2

2r+2

，
解得r=2，
即⊙O的半徑為2．

點(diǎn)評：本題主要考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．熟練掌握定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．