Question

如圖，BC是半圓O的直徑，D是弧AC的中點，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點E，CE=

5

，CD=2．
（1）求直徑BC的長；
（2）求弦AB的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,勾股定理,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）首先可得∠BDC=90°，求出DE，再由△ADE∽△BCE，可得BC；
（2）由△ABE∽△DCE，可得

AE

AB

=

DE

DC

=

1

2

，設AE=x，在△ABC中利用勾股定理解出x，繼而可得AB的長．

解答：解：（1）∵BC是半圓O的直徑，
∴∠BDC=90°，
由CE=

5

，CD=2，得DE=1，
∵△ADE∽△BCE，
∴

AD

BC

=

DE

CE

，
∴BC=2

5

．
（2）∵△ABE∽△DCE，
∴

AE

AB

=

DE

DC

=

1

2

，
設AE=x，
∵AB²+AC²=BC²，
∴(x+

5

)2+(2x)2=(2

5

)2，
解得：x=

-2 5 ±8 5

10

，
∵x＞0，
∴x=

3

5

5

，
∴AB=2x=

6

5

5

．

點評：本題考查了圓周角定理，涉及了勾股定理及相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是掌握相似三角形的對應邊成比例．