Question

如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中有4個(gè)點(diǎn)：A（1，0），B（5，0），C（2，3），D（1，2）．
（1）畫出△ABC的外切圓⊙P，并指出點(diǎn)D與⊙P的位置關(guān)系；
（2）判斷直線OD與⊙P的位置關(guān)系，說(shuō)明理由；
（3）計(jì)算sin∠ACB的值；
（4）若在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q，當(dāng)|QC-QD|最小時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

 

，當(dāng)QC+QD最小時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）先確定圓心點(diǎn)P，畫圓即可．
（2）直線OD與⊙P相切．連接OD，DP，OP，求出OD，DP，OP的值，利用勾股定理的逆定理可得△ODP是直角三角形，即可得出直線OD與⊙P相切．
（3）利用∠ACB=∠ADB，求sin∠ACB即可，
（4）①連接CD作CD的中垂線交y軸于點(diǎn)Q，此時(shí)|QC-QD|=0最小；②作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′C交y軸于點(diǎn)Q，此時(shí)QC+QD最小，分別求解得出Q的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）如圖1，點(diǎn)D在⊙P上，

（2）直線OD與⊙P相切．
理由如下：
如圖2，連接OD，DP，OP，

OP=

10

，OD=

5

，DP=

5

，
∵（

5

）²+（

5

）²=（

10

）²，
∴OD²+DP²=OP²，
∴△ODP是直角三角形，
∴∠ODP=90°，
∴直線OD與⊙P相切．
（3）∵∠ACB=∠ADB，
∴sin∠ACB=sin∠ADB=

AB

BD

=

4

20

=

2 5

5

．
（4）①連接CD作CD的中垂線交y軸于點(diǎn)Q，此時(shí)|QC-QD|=0最小，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，0）

②作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′C交y軸于點(diǎn)Q，此時(shí)QC+QD最小，

∵點(diǎn)D（1，2），
∴D′（-1，2），
設(shè)CD′所在的直線的解析式為y=kx+b，把D′（-1，2），C（2，3），代入得

-k+b=2 2k+b=3

，
解得

k= 1 3 b= 7 3

，
∴CD′所在的直線的解析式為y=

1

3

x+

7

3

，
當(dāng)x=0時(shí)，y=

7

3

，
∴Q（

7

3

，0）．
故答案為：（4，0），（

7

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的綜合題，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．