Question

若方程組

x2-y2=P 3xy+P(x-y)=P2

的解（x，y）為整數(shù)，求滿足條件的質(zhì)數(shù)P．

Answer 1

考點(diǎn)：高次方程

專題：

分析：先因式分解x²-y²=（x+y）（x-y），根據(jù)P為質(zhì)數(shù)得出①當(dāng)x+y=1時(shí)，x-y=P，②當(dāng)x+y=P時(shí)，x-y=1，分別求出P的值．判定是否滿足質(zhì)數(shù)P求解．

解答：解：x²-y²=（x+y）（x-y）=p
∵P為質(zhì)數(shù)，
∴當(dāng)x+y=1時(shí)，x-y=P，
∵3xy+P（x-y）=P²，
∴

3

4

[（x+y）²-（x-y）²]+P²=P²，
∴

3

4

（1-P²）=0，解得P=±1（舍去P是質(zhì)數(shù)），．
當(dāng)x+y=P時(shí)，x-y=1，
∵3xy+P（x-y）=P²，
∴

3

4

[（x+y）²-（x-y）²]+P=P²，
∴

3

4

（P²-1）+P=P²，化簡得P²-4P+3=0解得P=1或3．
∵P是質(zhì)數(shù)，
∴P=3．
∴滿足條件的質(zhì)數(shù)P是3．

點(diǎn)評：本題主要考查了高次方程，解題的關(guān)鍵是明確質(zhì)數(shù)的定義．