Question

（1）能否找到16個正整數(shù)，使其中任意9個數(shù)的和都不能被9整除？如果能，請把它們寫出來，并說明所寫數(shù)的特征；如果不能，請說明理由．
（2）能否找到17個正整數(shù)滿足上述要求？為什么？

Answer 1

分析：（1）這樣的16個數(shù)，其中8個數(shù)都能被9整除，另8個數(shù)被9整除都余1，這樣的16個數(shù)中，任何9個數(shù)的和都不能被9整除；
（2）由于任一正整數(shù)被3除的余數(shù)，只能是0、1、2對于任意5個正整數(shù)，若它們被3除的余數(shù)中，三種余數(shù)都有，則可取得每種余數(shù)的數(shù)各一個，其和必是3的倍數(shù)，若這5個數(shù)被3除的余數(shù)中，只有至多兩種余數(shù)，則由抽屜原理得，其中至少有3個數(shù)被3除的余數(shù)相同，取這3個數(shù)，其和必是3的倍數(shù)．對于任意17個正整數(shù)，可先從中取五個數(shù)，由上面的結論，其中必可找到3個數(shù)，其和為3的倍數(shù)，對于任意17個正整數(shù)可可先從中取五個數(shù)找出任意3個數(shù)均為3的倍數(shù)，可設其和為3a，同理可得到3b、3e，再把所得結果相加即可得出答案．

解答：解：（1）能，例如，這樣的16個數(shù)，其中8個數(shù)都能被9整除，另8個數(shù)被9整除都余1，這樣的16個數(shù)中，任何9個數(shù)的和都不能被9整除；
（2）先說明如下結論，任取5個正整數(shù)，其中必有三個數(shù)，其和為3的倍數(shù)．
任一正整數(shù)被3除的余數(shù)，只能是0、1、2對于任意5個正整數(shù)，若它們被3除的余數(shù)中，三種余數(shù)都有，則可取得每種余數(shù)的數(shù)各一個，其和必是3的倍數(shù)，若這5個數(shù)被3除的余數(shù)中，只有至多兩種余數(shù)，則由抽屜原理得，其中至少有3個數(shù)被3除的余數(shù)相同，取這3個數(shù)，其和必是3的倍數(shù)．
對于任意17個正整數(shù)，可先從中取五個數(shù)，由上面的結論，其中必可找到3個數(shù)，其和為3的倍數(shù)，記作3a，再從余下的14個數(shù)中任取5各數(shù)，其中又可找到3個數(shù)，其和為3的倍數(shù)，記作3b₁…依次下去，可得和3c，3d，最后余下的5個數(shù)中，又可找到3個數(shù)的和為3e（a、b、c、d、e均為正整數(shù)）．
考慮a、b、c、d、e這5個數(shù)，又可從中找到3個數(shù)，其和為3的倍數(shù)，
不妨設a+b+c=3k（k是正整數(shù)），于是3a+3b+3c=3（a+b+c）=9k，
即和為3a、3b、3c這3組的9個數(shù)之和為9的倍數(shù)，所以，找不到17個正整數(shù)能滿足題中條件．

點評：本題考查的是數(shù)的整除性問題，解答此類題目的關鍵是熟知數(shù)的整除性質(zhì)．