Question

【題目】如圖，畫∠AOB=90°，并畫∠AOB的平分線OC．

（1）將三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別垂直，垂足為E、F（如圖1）．則PE_____PF（填“＞”、“＜”、“=”）

（2）把三角尺繞著點P旋轉（如圖2），PE與PF相等嗎？試猜想PE、PF的大小關系，并說明理由．

（3）在（2）的條件下，過點P作直線GH⊥OC，分別交OA、OB于點G、H，如圖3 .
①圖中全等三角形有___________對（不添加輔助線）

②猜想GE2、FH2、EF2之間的關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）3；（3）GE2+FH2=EF2.

【解析】

（1）根據角平分線的性質定理證明；

（2）證明△MPE≌△NPF，根據全等三角形的性質證明結論；

（3）①根據等腰直角三角形的性質得到OP=PG=PH，證明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案； ②根據勾股定理，全等三角形的性質解答.

解：（1）∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，

∴PE=PF，

故答案為：=；

（2）PE=PF，

理由如下：∵∠MPN=90°，∠EPF=90°，

∴∠MPE=∠NPF，

由（1）得，PM=PN，

在△MPE和△NPF中，

∠MPE＝∠NPF, PM＝PN, ∠PME＝∠PNF ，

∴△MPE≌△NPF（ASA），

∴PE=PF；

（3）①∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC=45°，

∵GH⊥OC，

∴∠OGH=∠OHG=45°，

∴OP=PG=PH，

∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，

∴∠GPE=∠OPF，

在△GPE和△OPF中，

∠PGE＝∠POF, PG＝PO, ∠GPE＝∠OPF,

∴△GPE≌△OPF（ASA），

同理，△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，

故答案為：3；

②GE2+FH2=EF2，

理由如下：

∵△GPE≌△OPF，

∴GE=OF，

∵△EPO≌△FPH，

∴FH=OE，

在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，

∴GE2+FH2=EF2.