Question

將兩塊含45゜角大小不同的直角三角板△COD和△AOB如圖1擺放，連AC、BD．
（1）求證：AC=BD；
（2）將圖1中的△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度到△C₁OD₁的位置（如圖2），連結(jié)AC₁，BD₁，直線AC₁與BD₁，存在著什么樣的位置關(guān)系，請下結(jié)論并說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：∵△COD和△AOB是等腰直角三角形，
∴∠COD=∠AOB=90°，CO=DO，AO=BO，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS）．
∴AC=BD．
（2）AC₁⊥BD₁．
理由：延長BD₁交AO于N，交AC₁于M，
∵∠C₁OD₁=∠AOB，
∴∠C₁OD₁-∠AOD₁=∠AOB-∠AOD₁，
∴∠AOC₁=∠BOD₁．
在△AC₁O和△BD₁O中
，
∴△AC₁O≌△BD₁O（SAS）
∴∠1=∠2．
∵∠2+∠BNO=90°，且∠ANM=∠BNO，
∴∠1+∠ANM=90°，
∴∠AMN=90°．
∴AC₁⊥BD₁．
分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出△AOC≌△BOD，就有AC=BD；
（2）延長BD₁交AO于N，交AC₁于M，通過證明△AC₁O≌△BD₁O就可以得出∠1=∠2，進而可以得出∠AMB=90°而得出結(jié)論．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，垂直的判定的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵，作輔助線是難點．