【題目】已知:如圖①,在平行四邊形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,AC⊥AB,△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM停止平移時,點Q也停止移動,如圖②,設(shè)移動時間為t(s)(0<t<4).連接PQ、MQ、MC.
(1)當t為何值時,PQ∥AB?
(2)當t=3時,求△QMC的面積;
(3)是否存在t,使PQ⊥MQ?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:如圖所示,
AB=3cm,BC=5cm,AC⊥AB,
∴Rt△ABC中,AC=4,
若PQ∥AB,則有 = ,
∵CQ=PA=t,CP=4﹣t,QB=5﹣t,
∴ = ,
即20﹣9t+t2=t2,
解得t= ,
當t= 時,PQ∥AB
(2)
解:如圖所示,過點P作PD⊥BC于點D,
∴∠PDC=∠A=90°,
∵∠PCD=∠BCA
∴△CPD∽△CBA,
∴ = ,
當t=3時,CP=4﹣3=1,
∵BA=3,BC=5,
∴ = ,
∴PD= ,
又∵CQ=3,PM∥BC,
∴S△QMC= ×3× = ;
(3)
解:存在時刻t= ,使PQ⊥MQ,
理由如下:如圖所示,過點M作ME⊥BC的延長線于點E,
∵△CPD∽△CBA,
∴ = = ,
∵BA=3,CP=4﹣t,BC=5,CA=4,
∴ = = ,
∴PD= (4﹣t),CD= (4﹣t).
∵PQ⊥MQ,
∴∠PDQ=∠QEM=90°,∠PQD=∠QME,
∴△PDQ∽△QEM,
∴ = ,即PDEM=QEDQ.
∵EM=PD= (4﹣t)= ﹣ t,
DQ=CD﹣CQ= (4﹣t)﹣t= ﹣ t,
QE=DE﹣DQ=5﹣[ (4﹣t)﹣t]= + t,
∴( ﹣ t)2=( ﹣ t)( + t),
即2t2﹣3t=0,
∴t= 或t=0(舍去),
∴當t= 時,PQ⊥MQ.
【解析】(1)根據(jù)勾股定理求出AC,根據(jù)PQ∥AB,得出關(guān)于t的比例式,求解即可;(2)過點P作PD⊥BC于D,根據(jù)△CPD∽△CBA,列出關(guān)于t的比例式,表示出PD的長,再根據(jù)S△QMC= QCPD,進行計算即可;(3)過點M作ME⊥BC的延長線于點E,根據(jù)△CPD∽△CBA,得出PD= (4﹣t),CD= (4﹣t),再根據(jù)△PDQ∽△QEM,得到 = ,即PDEM=QEDQ,進而得到方程( ﹣ t)2=( ﹣ t)( + t),求得t= 或t=0(舍去),即可得出當t= 時,PQ⊥MQ.
【考點精析】關(guān)于本題考查的相似三角形的應(yīng)用,需要了解測高:測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達兩點間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解才能得出正確答案.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE,連接BD,CE交于點F.
(1)求證:△AEC≌△ADB;
(2)若AB=2,∠BAC=45°,當四邊形ADFC是菱形時,求BF的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】完成下面的證明過程
如圖,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠DEF,求證:DE∥BC.
證明:∵∠1+∠2=180°(已知),
而∠2=∠3(________),
∴∠1+∠3=180°
∴______∥______(________)
∴∠B=______(________)
∵∠B=∠DEF(已知)
∴∠DEF=______(等量代換)
∴DE∥BC(________)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】
(1)請你根據(jù)圖中A、B兩點的位置,分別寫出它們所表示的有理數(shù)
A: ___________ B: _____________ ;
(2)觀察數(shù)軸,與點A的距離為4的點表示的數(shù)是:_____________ ;
(3)若將數(shù)軸折疊,使得A點與-3表示的點重合,則B點與數(shù)_ _表示的點重合;
(4)若數(shù)軸上M、N兩點之間的距離為2014(M在N的左側(cè)),且M、N兩點經(jīng)過(3)中折疊后互相重合,則M、N兩點表示的數(shù)分別是: M: _______ N: _______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,為等邊三角形,,,于R,于S,則四個結(jié)論正確的是
點P在的平分線上;
;
;
≌.
A. 全部正確 B. 僅和正確 C. 僅正確 D. 僅和正確
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點B,F,C,E在直線l上(F,C之間不能直接測量),點A,D在l異側(cè),測得AB=DE,AC=DF,BF=EC.
(1)求證:△ABC≌△DEF;
(2)指出圖中所有平行的線段,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在某市舉辦的“讀好書,講禮儀”活動中,東華學校積極行動,各班圖書角的新書、好書不斷增多,除學校購買外,還有師生捐獻的圖書.下面是七年級(1)班全體同學捐獻圖書的情況統(tǒng)計圖:
請你根據(jù)以上統(tǒng)計圖中的信息,解答下列問題:
(1)該班有學生多少人?
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)七(1)班全體同學所捐獻圖書的中位數(shù)和眾數(shù)分別是多少?
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