Question

如圖，△ABC中，BD為∠ABC的平分線；
（1）若∠A=100°，∠C=50°，求證：BC=BA+AD；
（2）若∠BAC=100°，∠C=40°，求證：BC=BD+AD．

Answer 1

證明：（1）在邊BC上截取BE=AB，連接DE，
∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠DBE，
∴△ABD≌△DBE，
∴AD=DE，∴∠A=∠BED，
∵∠A=100°，
∴∠BED=100°，
∵∠C=50°，
∴∠CDE=50°，
∴∠C=∠CDE，
∴DE=CE，
∵BC=BE+CE，
∴BC=BA+AD；

（2）如圖，以BC為邊作等邊三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，
∴∠ACA′=∠ABD=20°，
∵AB=AC，
∴△ABD≌△ACD'（SAS），
∴AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，
∴∠AD′C=60°，連接AA′，
∴∠D'A'A=∠A'AD'=30°，
∴A'D'=AD'，
∴BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD，
即BC=BD+AD．
分析：（1）在邊BC上截取BE=AB，可證明△ABD≌△DBE，則AD=DE，再證明出∠C=∠CDE，則DE=CE，從而得出BC=BA+AD；
（2）以BC為邊作等邊三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，然后證明△ABD≌△ACD'，從而有AD=AD'，然后再證明∠D'A'A=∠A'AD'=30°，從而A'D'=AD'，所以BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是證明邊或角相等的重要方法，本題作輔助線構(gòu)建等邊三角形是關(guān)鍵．