Question

【題目】AB是⊙O的直徑，∠DAB=22.5°，延長AB到點C，使得∠ACD=45°．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AB=2 ，求BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接DO，

∵AO=DO，

∴∠DAO=∠ADO=22.5°．

∴∠DOC=45°．

又∵∠ACD=2∠DAB，

∴∠ACD=∠DOC=45°．

∴∠ODC=90°．

又 OD是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線

（2）解：連接DB，

∵直徑AB=2 ，△OCD為等腰直角三角形，

∴CD=OD= ，OC= =2，

∴BC=OC﹣OB=2﹣ ．

【解析】（1）連接DO，由三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系易得∠DOC=∠C=45°，故有∠ODC=90°，即CD是圓的切線．（2）由1知，CD=OD= AB，由弦切角定理可得∠CDB=∠A，故有△ADC∽△DBC，得到CD2=CBCA=CB（CB+AB）而求得BC的值．
【考點精析】利用圓周角定理和切線的判定定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．