Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)A（1，0）和B（0，1）．
（1）如圖1，若動(dòng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)，則使△ABC為等腰三角形的點(diǎn)C有幾個(gè)？
（2）過(guò)A、B向直線(xiàn)l：y=-2x作垂線(xiàn)，垂足分別為M，N（如圖2），試判斷線(xiàn)段AM、BN、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）過(guò)A、B向動(dòng)直線(xiàn)l：y=kx（k＞0）作垂線(xiàn)，垂足分別為M，N，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AM、BN、MN之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）以B為圓心，以AB為半徑交x軸于一點(diǎn)M，同理以A為圓心，以AB為半徑交x軸于Q、E，作AB的垂直平分線(xiàn)交x軸于F，則可得出答案；
（2）根據(jù)AAS證△AOM≌△OBN即可；
（3）①當(dāng)k＞1時(shí)，AM=BN+MN，②當(dāng)k=1時(shí)，AM=BN，MN=0，當(dāng)0＜k＜1時(shí)，BN=AM+MN，證△BON和△AOM全等即可．

解答：解 （1）當(dāng)AB為腰時(shí)，有3個(gè)，
以AB為底時(shí)，有1個(gè)，
共4個(gè)．   

（2）解：AM+BN=MN．
由已知可得 OA=OB，∠AOM=90°-∠BON=∠OBN，
在△AOM和△OBN中

∠AOM=∠OBN ∠AMO=∠BNO OA=OB

，
∴Rt△AOM≌Rt△OBN，
∴AM=ON，OM=BN，
∴AM+BN=ON+OM=MN．      
                    
（3）解：①當(dāng)k＞1時(shí)，AM=BN+MN，
∵∠AOB=∠BNO=∠AMO=90°，
∴∠BON+∠AON=90°，∠AON+∠OAM=90°，
∴∠BON=∠OAM，
在△AOM和△OBN中

∠BNO=∠AMO ∠BON=∠MAO OA=OB

，
∴△AOM≌△OBN，
∴BN=OM，ON=AM，
∴AM=BN+MN．

②當(dāng)k=1時(shí)，AM=BN，MN=0．
③同理：當(dāng)0＜k＜1時(shí)，BN=AM+MN．     

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定，兩條直線(xiàn)相交或平行問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，本題主要用了分類(lèi)討論思想，題型較好．