Question

如圖，點(diǎn)P是等腰直角三角形ABC底邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BA、AC的垂線，垂足是E、F，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：DE⊥DF；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時，DE⊥DF是否成立？說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）連接AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得出∠BAC=90°，∠BAD=∠ACB=45°，AD⊥BC，AD=BD=CD=

1

2

BC，進(jìn)而得出四邊形AEPF是矩形，△PFC是等腰直角三角形，從而求得AE=FC，然后根據(jù)SAS證得△AED≌△CFD，得出∠ADE=∠CDF，根據(jù)等量代換即可證得結(jié)論；
（2）連接AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得出∠BAC=90°，∠BAD=∠ACB=45°，AD⊥BC，AD=BD=CD=

1

2

BC，進(jìn)而得出四邊形AEPF是矩形，△PFC是等腰直角三角形，∠EAD=∠FCD=135°，從而求得AE=FC，然后根據(jù)SAS證得△AED≌△CFD，得出∠ADE=∠CDF，根據(jù)等量代換即可證得結(jié)論；

解答：（1）證明：如圖1，連接AD，
∵等腰直角三角形ABC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)．
∴∠BAC=90°，∠BAD=∠ACB=45°，AD⊥BC，AD=BD=CD=

1

2

BC，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，
∴四邊形AEPF是矩形，△PFC是等腰直角三角形，
∴AE=PF，PF=FC，
∴AE=FC，
在△AED與△CFD中

AE=CF ∠EAD=∠FCD AD=DC

，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∴DE⊥DF．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時，DE⊥DF成立；理由：
解：如圖2，連接AD，
∵等腰直角三角形ABC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)．
∴∠BAC=90°，∠CAD=∠ACB=45°，AD⊥BC，AD=BD=CD=

1

2

BC，
∴∠PCF=45°，
∴∠DCF=135°，
∵∠CAE=90°
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=45°+90°=135°
∴∠EAD=∠FCD，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，AB⊥AC，
∴四邊形AEPF是矩形，△PFC是等腰直角三角形，
∴AE=PF，PF=FC，
∴AE=FC，
在△AED與△CFD中

AE=CF ∠EAD=∠FCD AD=DC

，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∴DE⊥DF．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形斜邊的中線、高、頂角平分線三線合一是本題的關(guān)鍵．