Question

拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)D，頂點(diǎn)為C
（1）求A、B、C、D各點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求四邊形ABCD的面積；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB的面積是△ABC的面積的2倍？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=-x²+2x+3=-（x+1）（x-3）=-（x-1）²+4，
∴A（-1，0）、B（3，0）、C（1，4）、D（0，3）．

（2）過(guò)C作CE⊥x軸，垂足為E；
由（1）知：OA=1、OD=3、CE=4、OE=1、BE=2；
S_{四邊形ABCD}=S_△AOD+S_△BCE+S_梯形ODCE
=×1×3+×2×4+×（3+4）×1=9．

（3）由于CE=4，即點(diǎn)C到x軸的距離為4；
若S_△PAB=2S_△ABC，則點(diǎn)P到x軸的距離為8，
設(shè)P（x，-8），依題意，有：
-x²+2x+3=-8，
化簡(jiǎn)得：x²-2x-11=0
解得：x=1±2；
即：P（1±2，-8）．
分析：（1）在拋物線的解析式中，當(dāng)x=0時(shí)，可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；當(dāng)y=0時(shí)，能求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；將拋物線的解析式寫成頂點(diǎn)式，可以得到頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）四邊形ADCB的形狀不規(guī)則，可以過(guò)C作x軸的垂線，將四邊形分成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)梯形，根據(jù)圖形間面積的和差關(guān)系求解即可．
（3）由（1）知，拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，若△PAB的面積是2倍的△ABC的面積，那么點(diǎn)P到x軸的距離必為8（兩個(gè)三角形共用一個(gè)底），顯然點(diǎn)P不可能在x軸的上方，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)一定是-8，代入拋物線的解析式中求解即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及圖形面積的求法，總體來(lái)說(shuō)難度不大，注意兩點(diǎn)即可：圖形不規(guī)則時(shí)，其面積可通過(guò)圖形間面積和差關(guān)系來(lái)解；同底不等高的三角形，面積比等于高的比．