Question

已知一元二次方程-x²+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是m，4，其中0＜m＜4．
（1）求b、c的值（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）設(shè)拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-2），且AD•BD=10，求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在（2）中所得的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得PC=PD？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了方程的兩根，用韋達(dá)定理即可求出b、c的值．
（2）已知了D點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出OD的長，也就能求出AD、BD的長，然后根據(jù)AD•BD=10可得出m的值．進(jìn)而可求出拋物線的解析式．根據(jù)拋物線的解析式即可得出其與y軸的交點(diǎn)．
（3）如果PC=DP，那么P點(diǎn)必在線段CD的垂直平分線上，設(shè)這條垂直平分線為l，那么P點(diǎn)必為直線l與拋物線的交點(diǎn)，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）一元二次方程-x²+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是m，4；
∴m+4=b，4m=-c，
∴b=m+4，c=-4m．

（2）由（1）知拋物線y=-x²+（m+4）x-4m與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，0）（4，0）；
∵AD•BD=10，
∴

m2+22

•

42+22

=10
∵0＜m＜4，
∴m=1
∴y=-x²+5x-4．
令x=0，
∴y=-4
∴C（0，-4）．
∴拋物線的解析式為y=-x²+5x-4，點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，-4）．

（3）要使得PC=PD，P點(diǎn)必在CD的垂直平分線l上；
∴直線l是y=-3
由

y=-3 y=-x2+5x-4

，
解得

x= 5± 21 2 y=-3

，
∴拋物線上存在P點(diǎn)，使得PC=PD，且P點(diǎn)坐標(biāo)為（

5- 21

2

，-3）或（

5+ 21

2

，-3）．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識．