Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且AB=3

5

，sin∠OAB=

5

5

，
（1）若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，求經(jīng)過O，C，A三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在（1）中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使以P，O，C，A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若將點(diǎn)O，點(diǎn)A分別變換為點(diǎn)Q（-2k，0），點(diǎn)R（5k，0）（k＞1的常數(shù)），設(shè)過Q，R兩點(diǎn)，且以QR的垂直平分線為對稱軸的拋物線與y軸的交點(diǎn)為N，其頂點(diǎn)為M，記△QNM的面積為S_△QNM，△QNR的面積為S_△QNR，求S_△QNM：S_△QNR的值．

Answer 1

分析：（1）已知了AB的長以及∠OAB的正弦值，可過B作BD⊥x軸于D，即可求出BD和AD的長，進(jìn)而可得出OD的長，由此可求出B點(diǎn)坐標(biāo)，也就得出了C點(diǎn)坐標(biāo)．然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）本題可分三種情況：
①CP∥OA，可將C點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；然后判斷CP是否與OA相等即可．如果不相等，則四邊形POCA是梯形，反之則不是．
②OP∥AC，先求出直線AC的解析式，由于直線OP與直線AC平行，因此兩函數(shù)的斜率相同，再根據(jù)O點(diǎn)坐標(biāo)，可求出直線OP的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．然后判斷OP是否與AC相等即可．
③AP∥OC，同②．
（3）先根據(jù)Q、R的坐標(biāo)求出拋物線的解析式，然后求出N點(diǎn)和M點(diǎn)的坐標(biāo)，由于拋物線的開口方向不確定，因此分兩種情況，由于兩種情況解法相同，以開口向上為例說明：
由于三角形QNM的面積無法直接求出，因此可將其面積化為其他圖形面積的和差來求．過M作MG⊥x軸于G，則三角形QNM的面積可以用梯形QNMG的面積+三角形QON的面積-三角形QMG的面積來得出．然后分別表示出三角形QNM和QNR面積，進(jìn)行比較即可．

解答：解：（1）如圖，
過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D．
在Rt△ABD中，
∵AB=3

5

，sin∠OAB=

5

5

，
∴BD=AB•sin∠OAB=3

5

×

5

5

=3．
又由勾股定理，
得AD=

AB2-BD2

=

(3 5 )2-32

=6．
∴OD=OA-AD=4．
∵點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3）．
∴點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，-3）．
設(shè)經(jīng)過O（0，0），C（4，-3），A（10，0）三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax²+bx（a≠0）．
由

16a+4b=-3 100a+10b=0

?

a= 1 8 b=- 5 4

．
∴經(jīng)過O，C，A三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=

1

8

x²-

5

4

x．

（2）假設(shè)在（1）中的拋物線上存在點(diǎn)P，使以P，O，C，A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形．
①∵點(diǎn)C（4，-3）不是拋物線y=

1

8

x²-

5

4

x的頂點(diǎn)，
∴過點(diǎn)C作直線OA的平行線與拋物線交于點(diǎn)P₁．
則直線CP₁的函數(shù)表達(dá)式為y=-3．
對于y=

1

8

x²-

5

4

x，令y=-3，則x=4或x=6．
∴

x1=4 y1=-3

，

x2=6 y2=-3

．
而點(diǎn)C（4，-3），
∴P₁（6，-3）．
在四邊形P₁AOC中，CP₁∥OA，顯然CP₁≠OA．
∴點(diǎn)P₁（6，-3）是符合要求的點(diǎn)．
②若AP₂∥CO．設(shè)直線CO的函數(shù)表達(dá)式為y=k₁x．
將點(diǎn)C（4，-3）代入，
得4k₁=-3．
∴k₁=-

3

4

．
∴直線CO的函數(shù)表達(dá)式為y=-

3

4

x．
于是可設(shè)直線AP₂的函數(shù)表達(dá)式為y=-

3

4

x+b₁．
將點(diǎn)A（10，0）代入，
得-

3

4

×10+b₁=0．
∴b₁=

15

2

．
∴直線AP₂的函數(shù)表達(dá)式為y=-

3

4

x+

15

2

．
由

y=- 3 4 x+ 15 2 y= 1 8 x2- 5 4 x

?x2-4x-60=0，
即（x-10）（x+6）=0．
∴

x1=10 y1=0

，

x2=-6 y2=12

．
而點(diǎn)A（10，0），
∴P₂（-6，12）．
過點(diǎn)P₂作P₂E⊥x軸于點(diǎn)E，則P₂E=12．
在Rt△AP₂E中，由勾股定理，
得AP₂=

|P2E|2+|AE|2

=

122+162

=20．
而CO=OB=5．
∴在四邊形P₂OCA中，AP₂∥CO，但AP₂≠CO．
∴點(diǎn)P₂（-6，12）是符合要求的點(diǎn)．
③若OP₃∥CA．設(shè)直線CA的函數(shù)表達(dá)式為y=k₂x+b₂．
將點(diǎn)A（10，0），C（4，-3）代入，
得

10k2+b2=0 4k2+b2=-3

?

k2= 1 2 b2=-5

．
∴直線CA的函數(shù)表達(dá)式為y=

1

2

x-5．
∴直線OP₃的函數(shù)表達(dá)式為y=

1

2

x．
由

y= 1 2 x y= 1 8 x2- 5 4 x

?x2-14x=0，
即x（x-14）=0．
∴

x1=0 y1=0

，

x2=14 y2=7

．
而點(diǎn)O（0，0），
∴P₃（14，7）．
過點(diǎn)P₃作P₃F⊥x軸于點(diǎn)F，則|P₃F|=7．
在Rt△OP₃F中，由勾股定理，
得OP₃=

|P3F|2+|OF|2

=

72+142

=7

5

．
而CA=AB=3

5

．
∴在四邊形P₃OCA中，OP₃∥CA，但|OP₃|≠|(zhì)CA|．
∴點(diǎn)P₃（14，7）是符合要求的點(diǎn)．
綜上可知，在（1）中的拋物線上存在點(diǎn)P₁（6，-3），P₂（-6，12），P₃（14，7），
使以P，O，C，A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形．

（3）由題知，拋物線的開口可能向上，也可能向下．
①當(dāng)拋物線開口向上時，則此拋物線與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)N．
可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x+2k）（x-5k）（a＞0）．
即y=ax²-3akx-10ak²=a（x-

3

2

k）²-

49

4

ak²．
如圖，過點(diǎn)M作MG⊥x軸于點(diǎn)G．
∵Q（-2k，0），R（5k，0），G（

3

2

k，0），N（0，-10ak²），M（

3

2

k，-

49

4

ak²），
∴QO=2k，QR=7k，OG=

3

2

k，QG=

7

2

k，ON=10ak²，MG=

49

4

ak²．
∴S_△QNR=

1

2

QR•ON=

1

2

×7k×10ak²=35ak³．
S_△QNM=S_△QNO+S_梯形ONMG-S_△QMG=

1

2

•QO•O|+

1

2

（ON+GM）•OG-

1

2

•QG•GM=

1

2

×2k×10ak²+

1

2

×（10ak²+

49

4

ak²）×

3

2

k-

1

2

×

7

2

k×

49

4

ak²=

21

4

ak³．
∴S△QNM：S△QNR=3：20．
②當(dāng)拋物線開口向下時，則此拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)N．
同理，可得S_△QNM：S_△QNR=3：20．
綜上可知，S_△QNM：S_△QNR的值為3：20．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定和圖形面積的求法等知識，要注意判定梯形的過程中不要忘了一組對邊平行而另一組對邊不平行的條件．