Question

問題提出：   
我們在分析解決某些數學問題時，經常要比較兩個數或代數式的大小. 而解決問題的策略一般要進行一定的轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一.所謂“作差法”：就是通過作差、變形. 并利用差的符號來確定它們的大小，即耍比較代數式 M、N的大小，只要作出它們的差M-N，若M-N>0，則M>N；若M-N=0，則M=N；若M-N<0；則 M<N.    
問題解決：    
如圖①.把邊長為 a+b(a≠b)的大正方形分割成兩個邊長分別是 a、b 的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形的面積之和 M與兩個矩形面積之和N 的大小.類比應用：
(1)已知小麗和小穎購買同一種商品的平均價格分別為元/千克、元/千克(a·b是正數.且a≠b)，試比較小麗和小穎所購商品的平均價格的高低.   
(2)試比技圖②、圖③兩個矩形的周長 M, 、N, 的大小(b>c).

Answer 1

解： 由因可知，M=a² +b²，N=2ab，
∴M-N= a² +b² -2ab- (a-b)²    
∴a≠b
∴(a-b)²>0，..M-N>0，
∴M>N
類比應用：
(1)
∵a，b是正數，且 a≠b，
 
 
即小麗的平均價格比小額的高.    
(2)由圖知，M₁= 2(a+b+b+c)=2a +4b+2c , N₁ = 2 (a - c+ b+ 3c) = 2a+ 2b+4c.   
 M₁ - N₁ = (2a+ 4b+ 2c) - (2a + 2b+ 4c) =2b- 2c=2 (b- c)     
∵ b> c,
∴ 2 ( b - c) > 0, M₁ - N₁> 0 , M₁>N₁.   
 所以第一個矩形的周長大于第二個矩形的周長.    
聯(lián)系拓廣    
設題中圖⑤的捆綁繩長為 l₁，
則l₁ = 2a×2+2b×2+ 4c×2 = 4a + 4b+ 8c    
設題中圖⑥的捆綁繩長為 l₂，
則 l₂ =2a×2+2b×2 + 2c×2= 4a+ 4b+ 4c   
 設題中圖⑦的捆綁繩長為 l₃，則 1₃ = 3a×2+2b×2+ 3c×2= 6a+ 4b+ 6c    
l₁ - l₂ = ( 4a + 4b + 8c) - ( 4a + 4b + 4c ) =4c>0    
∴l(xiāng)₁> l₂ .     l₂ - l₃ = ( 6a+4b+ 6c) - (4a + 4b+ 4c)= 2a +2c>0    
∴l(xiāng)₃>1₂.     l₃ - l₁= (6a+4b+ 6c) - (4a + 4b+ 8c) = 2a -2c = 2(a-c)    
∴a>c，
∴2(a-c)>0
即 1₃-l₁>0，l₃>l₁     
∴第三種捆綁方法用繩最長. 第二種最短.