Question

把矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接AE，得到梯形ABDE，AB=12cm，BC=16cm，求梯形ABDE的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)得AD=BC=16cm，AB=DC=12cm，AD∥BC，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出BD=20cm，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠1=∠2，BE=BC=16cm，ED=DC=12cm，則∠1=∠3，所以BF=DF，又AD=BE，則AF=EF，所以∠4=∠5，于是∠1=∠5=∠4=∠3，得到BD∥AE，而AB=DE=12cm，且AB與DE不平行，所以可判斷四邊形ABDE是等腰梯形，過點(diǎn)A、E分別作AM⊥BD于點(diǎn)M、EN⊥BD于點(diǎn)N，則四邊形AMNE為矩形，根據(jù)等腰圖形的性質(zhì)易得BM=DN，AE=MN，在Rt△ABD中，利用面積法克計(jì)算出AM=

12×16

20

=

48

5

，在Rt△ABM中，利用勾股定理計(jì)算出BM=

14

5

，則AE=MN=

72

5

，然后根據(jù)梯形的面積公式求解．

解答：解：設(shè)BE與AD交于點(diǎn)F．
∵四邊形ABCD為矩形，AB=12cm，BC=16cm，
∴AD=BC=16cm，AB=DC=12cm，AD∥BC，
∴BD=

162+122

=20cm，∠2=∠3，
∵把矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，
∴∠1=∠2，BE=BC=16cm，ED=DC=12cm，
∴∠1=∠3，
∴BF=DF，
∵BE=AD，
∴EF=AF，
∴∠4=∠5，
∴∠1=∠5=∠4=∠3，
∴AE∥BD，
∵AB=DE=12cm，且AB與DE不平行，
∴四邊形ABDE是等腰梯形．
過點(diǎn)A、E分別作AM⊥BD于點(diǎn)M、EN⊥BD于點(diǎn)N，則四邊形AMNE為矩形，
∴BM=DN，AE=MN，
在Rt△ABD中，

1

2

AM•BD=

1

2

AD•AB，則AM=

12×16

20

=

48

5

，
在Rt△ABM中，BM=

AB2-AM2

=

14

5

，
∴DN=

14

5

，
∴AE=MN=20-

14

5

-

14

5

=

72

5

，
∴梯形ABDE的面積=

1

2

（AE+BD）•AM=

1

2

（

72

5

+20）×

48

5

=

4128

25

（cm²）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；也考查了勾股定理、矩形的性質(zhì)以及等腰梯形的判定與性質(zhì)．