Question

如圖所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，AD為∠BAC平分線交BC于E，BD⊥AD．求證：AE=2BD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：延長BD和AC交于F，求出∠CAE=∠CBF，AC=BC，證△EAC≌△FBC，△BAD≌△FAD，推出AE=BF，BD=DF，即可得出答案．

解答：證明：延長BD和AC交于F，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，
∴∠ABC=45°=∠BAC，
∴AC=BC，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCF=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAC，
∵BD⊥AD，
∴∠ACE=BDE=90°，
∵∠AEC=∠BED，
∴根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得：∠DBE=∠CAE，
在△ACE和△BCF中，

∠EAC=∠CBF AC=BC ∠ACE=∠BCF

，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，
在△BAD和△FAD中，

∠BAD=∠CAD AD=AD ∠ADB=∠ADF=90°

，
∴△BAD≌△FAD（ASA），
∴BD=DF，
即BF=2BD，
∴AE=2BD．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出AE=BF和BD=DF，題目比較好，難度適中．