Question

如圖，在五邊形ABCDE中，AB=BC，N為BC延長線上一點(diǎn)，過N作∠ANM=∠ABC=∠BCD，交∠BCD的外角平分線于M，試問AN=NM成立嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓,三角形內(nèi)角和定理,等腰三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接AC、AM，易證∠BAC=∠BCA=∠NCM=∠DCM，從而得到∠ACM=∠BCD=∠ANM，進(jìn)而得到A、C、N、M四點(diǎn)共圓，然后根據(jù)圓周角定理可得∠NAM=∠NCM，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠BCA=∠NMA，就可得到∠NMA=∠NAM，從而有AN=NM．

解答：答：AN=NM成立
證明：連接AC、AM，如圖．
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴∠BAC=∠BCA=

180°-∠ABC

2

．
∵CM平分∠NCD，
∴∠NCM=∠DCM，
∴∠NCM=∠DCM=

180°-∠BCD

2

．
∵∠ANM=∠ABC=∠BCD，
∴∠BAC=∠BCA=∠NCM=∠DCM，
∴∠ACM=∠ACD+∠DCM=∠ACD+∠BCA=∠BCD=∠ANM，
∴A、C、N、M四點(diǎn)共圓，
∴∠NAM=∠NCM，∠BCA=∠NMA，
∵∠BCA=∠NCM，
∴∠NMA=∠NAM，
∴AN=NM．

點(diǎn)評：本題考查了四點(diǎn)共圓的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，證到∠ACM=∠BCD=∠ANM，進(jìn)而得到A、C、N、M四點(diǎn)共圓是解決本題的關(guān)鍵．