【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=4,M是AD的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)EM并延長(zhǎng)交線段CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)如圖1,求證:AE=DF;
(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)M作MG⊥EF交線段BC于點(diǎn)G,若ME=MG,求證:BE=CG;
(3)如圖3,若AB=2,過(guò)點(diǎn)M作MG⊥EF交線段BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.求線段AE長(zhǎng)度的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)∴<AE≤2.
【解析】
(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠EAM=∠FDM=90°,根據(jù)全等三角形的判定定理得到△AEM≌△DFM(ASA),由全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)如圖2,由ME=MG可得△MEG是等腰直角△,再由ME=MF可得△EFG也是等腰直角△,即,;由得,由、、,得△BEG≌△CGF(AAS),得BE=CG;
(3)根據(jù)四邊形ABCD是矩形,得到∠A=∠ADC=90°,等量代換得到∠AEM=∠DMC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,代入數(shù)據(jù)求得AE=,當(dāng)E、B重合時(shí),AE最長(zhǎng)為2,于是得到結(jié)論.
(1)如圖1,
在矩形ABCD中,∠EAM=∠FDM=90°,
∵M是AD的中點(diǎn),∴AM=DM,又∠AME=∠FMD,
在△AEM與△DFM中, ,
∴△AEM≌△DFM(ASA),∴AE=DF;
(2)如圖2,
∵ME=MG,MG⊥EF,
∴△MEG是等腰直角△;
同理,△EFG也是等腰直角△,
∴即,,
∴,
∴,
∵、、,
∴△BEG≌△CGF(AAS),
∴BE=CG;
(3)①當(dāng)C、G重合時(shí),如圖4,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ADC=90°,
∴∠AME+∠AEM=90°,
∵MG⊥EF,
∴∠EMG=90°,
∴∠AME+∠DMC=90°,
∴∠AEM=∠DMC,
∴△AEM∽△DMC,
∴,
∴,
∴AE=,
∴<AE≤.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C,E為⊙O上的兩點(diǎn),AC平分∠EAB,CD⊥AE于D.
(1)求證:CD為⊙O的切線;
(2)過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F,如圖2,判斷CF和AF,DE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明之;
(3)若AD-OA=1.5,AC=3,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平行四邊形一邊長(zhǎng)為12cm,那么它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度可以是( 。
A. 8cm和14cm B. 10cm 和14cm C. 18cm和20cm D. 10cm和34cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AB=4,BC=8,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于點(diǎn)E,則AE的長(zhǎng)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)(3,-2)在反比例函數(shù)y=的圖象上,則下列點(diǎn)也在該反比例函數(shù)y=的圖象的是( )
A. (3,-3) B. (1,6) C. (-2,3) D. (-2,-3)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E是矩形紙片的邊BC上的一動(dòng)點(diǎn),沿直線AE折疊紙片,點(diǎn)B落在了點(diǎn)B′位置,連結(jié)CB′.已知AB=3,BC=6,則當(dāng)線段CB′最小時(shí)BE的長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察發(fā)現(xiàn):如圖(1),⊙O是△ADC的外接圓,點(diǎn)B是邊CD上的一點(diǎn),且△ABC是等邊三角形.OD與AB交于點(diǎn)E,以O為圓心、OE為半徑的圓交AB于點(diǎn)F,連接CF、OF.
(1)求∠AOD的度數(shù);
(2)線段AE、CF有何大小關(guān)系?證明你的猜想.
拓展應(yīng)用:如圖(2),△HJI是等邊三角形,點(diǎn)K是IH延長(zhǎng)線上的一點(diǎn).點(diǎn)O是△JKI的外接圓圓心,OK與JH相交于點(diǎn)E.如果等邊三角形△JHI的邊長(zhǎng)為2,請(qǐng)直接寫出JE的最小值和此時(shí)∠JEO的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AC是直徑,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),延長(zhǎng)EO交⊙O于D點(diǎn),若BC=DC,AB=2 ,求 的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】知識(shí)鏈接:將兩個(gè)含30°角的全等三角尺放在一起,讓兩個(gè)30°角合在一起成60°,經(jīng)過(guò)拼湊、觀察、思考,探究出“直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”結(jié)論.
如圖:等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4cm,點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E從B出發(fā)沿AB的延長(zhǎng)線BF向右運(yùn)動(dòng),已知點(diǎn)D、E都以每秒0.5cm的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)過(guò)程中DE與BC相交于點(diǎn)P,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒.
(1)請(qǐng)直接寫出AD長(zhǎng).(用x的代數(shù)式表示)
(2)當(dāng)△ADE為直角三角形時(shí),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為幾秒?
(2)求證:在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)P始終為線段DE的中點(diǎn).
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