Question

若記函數y在x處的值為f（x），（例如y=x²，也可記著f（x）=x²）已知函數f（x）=ax²+bx+c的圖象如圖所示，且ax²+（b-1）x+c＞0對所有的實數x都成立，則下列結論成立的有

 

．
（1）ac＞0，
（2）

(b-1)2

4

＜ac，
（3）對所有的實數x都有f（x）＞x，
（4）對所有的實數x都有f（f（x））＞x．

Answer 1

分析：（1）拋物線開口向上，則a＞0，拋物線與y軸的交點在x軸上方，則c＞0，可判斷（1）正確；
（2）根據ax²+（b-1）x+c＞0對所有的實數x都成立，可得到拋物線與x軸沒有交點，則△＜0，變形△＜0即可對（2）進行判斷；
（3）把ax²+（b-1）x+c＞0進行變形即可得到ax²+bx+c＞x；
（4）把f（x）作為變量得到f（f（x））＞f（x），即有（4）的結論．

解答：解：（1）觀察圖象得，a＞0，c＞0，則ac＞0，所以（1）正確；

（2）∵ax²+（b-1）x+c＞0對所有的實數x都成立，且a＞0，
∴y=ax²+（b-1）x+c的圖象在x軸上方，
∴△＜0，即（b-1）²-4ac＜0，
∴

(b-1)2

4

＜ac，所以（2）正確；

（3）∵ax²+（b-1）x+c＞0對所有的實數x都成立，
∴ax²+bx+c＞x對所有的實數x都成立，
即對所有的實數x都有f（x）＞x，所以（3）正確；

（4）由（3）得對所有的實數x都有f（x）＞x，
∴f（f（x））＞f（x），
∴對所有的實數x都有f（f（x））＞x．

故答案為（1）、（2）、（3）、（4）．

點評：本題考查了二次函數ax²+bx+c=0（a≠0）的有關性質：a＞0，開口向上；a＜0，開口向下；c＞0，拋物線與y軸的交點在x軸上方；c=0，過原點；c＜0，拋物線與y軸的交點在x軸下方；△＞0，拋物線與x軸有兩個交點；△=0，拋物線與x軸有一個公共點；△＜0，拋物線與x軸沒有個公共點．也考查了代數式的變形能力．