Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q，過(guò)點(diǎn)Q作QR∥BA交AC于R，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BQ=x，QR=y．

（1）求點(diǎn)D到BC的距離DH的長(zhǎng)；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）是否存在點(diǎn)P，使△PQR為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）y=-x+6（3）存在，或6或

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DH的長(zhǎng)；

（2）根據(jù)△RQC∽△ABC，根據(jù)三角形的相似比求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）畫出圖形，根據(jù)圖形進(jìn)行討論：

①當(dāng)PQ=PR時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥QR于M，則QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，∴∠1=∠C．

∴cos∠1=cosC=，∴，即可求出x的值；

②當(dāng)PQ=RQ時(shí)，﹣x+6=，x=6；

③當(dāng)PR=QR時(shí)，則R為PQ中垂線上的點(diǎn)，于是點(diǎn)R為EC的中點(diǎn)，故CR=CE=AC=2．由于tanC=，x=．

試題解析：（1）在Rt△ABC中，

∵∠A=90°，AB=6，AC=8，

∴BC==10．

∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．

∴△BHD∽△BAC，

∴，

∴DH=AC=×8=

（2）∵QR∥AB，

∴∠QRC=∠A=90°．

∵∠C=∠C，

∴△RQC∽△ABC，

∴，∴，

即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+6．

（3）存在，分三種情況：

①當(dāng)PQ=PR時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥QR于M，則QM=RM．

∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，

∴∠1=∠C．

∴cos∠1=cosC=，

∴，

∴，

∴x=．

②當(dāng)PQ=RQ時(shí)，﹣x+6=，

∴x=6．

③作EM⊥BC，RN⊥EM，

∴EM∥PQ，

當(dāng)PR=QR時(shí)，則R為PQ中垂線上的點(diǎn)，

∴EN=MN，

∴ER=RC，

∴點(diǎn)R為EC的中點(diǎn)，

∴CR=CE=AC=2．

∵tanC=，

∴，

∴x=．

綜上所述，當(dāng)x為或6或時(shí)，△PQR為等腰三角形．