Question

已知△ABC三邊分別為a，b，c，內(nèi)切圓⊙I的半徑為r，證明：S_△ABC=

1

2

r（a+b+c）．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：證明題

分析：如圖，作ID⊥AB于D，IE⊥BC于E，IF⊥AC于F，連接IA、IB、IC，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)得ID=IE=IF=r，再根據(jù)三角形面積公式得到S_△AIB=

1

2

AB•ID，S_△CIB=

1

2

BC•IE，S_△AIC=

1

2

AC•IF，然后利用S_△ABC=S_△AIB+S_△CIB+S_△AIC進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答：證明：如圖，作ID⊥AB于D，IE⊥BC于E，IF⊥AC于F，連接IA、IB、IC，
∵⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，
∴ID=IE=IF=r，
∵S_△AIB=

1

2

AB•ID，S_△CIB=

1

2

BC•IE，S_△AIC=

1

2

AC•IF，
∴S_△ABC=S_△AIB+S_△CIB+S_△AIC=

1

2

cr+

1

2

ar+

1

2

br=

1

2

r（a+b+c）．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．