Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠CBA=2∠F，且AC=BC．
（1）求證：△FBE∽△EFC；
（2）求證：DC²=AD•FC．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：證明題

分析：（1）由條件可證明△AED≌△BEF，可得E為DF的中點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)可知EF=EC，可得到∠F=∠FEB=∠ECF，可證明△FBE∽△EFC；
（2）根據(jù)（1）的過程及條件可求得∠F=∠ECF=30°，可求得∠ACD=30°，可證得△ADC∽△DCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論．

解答：證明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠EFB，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴AE=BE，
在△AED和△BEF中，

∠ADF=∠EFB ∠AED=∠BEF AE=BE

，
∴△AED≌△BEF（AAS），
∴EF=DE，
∵∠DCB=90°，
∴CE=EF，
∴∠F=∠ECF，
∵∠CBF=2∠F，
∴∠F=∠FEB，
∴∠FEB=∠ECF，且∠F=∠F，
∴△FBE∽△EFC；
（2）∵AC=BC，E為AB中點(diǎn)，
∴CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠ECB+∠EBC=90°，
又由（1）可得∠EBC=2∠ECB，
∴∠F=∠ECB=∠ECA=30°，
∵∠DCB=90°，
∴∠DCA=30°，
∴∠DCA=∠F，
又∵∠AD∥BC，
∴∠ADC+∠DCB=180°，
∴∠ADC=∠DCF=90°，
∴△ADC∽△DCF，
∴

AD

DC

=

DC

CF

，
∴DC²=AD•FC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即①兩個(gè)三角形的兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，②兩個(gè)三角形有兩組角對(duì)應(yīng)相等，③兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例，則這兩個(gè)三角形相似．