Question

如圖，△ABC是等邊三角形，P為BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），以AP為邊作等邊△APE，連接CE．
（1）求證：AB∥CE；
（2）是否存在點(diǎn)P，使得AE⊥CE？若存在，指出點(diǎn)P的位置并證明你的結(jié)論；若不存，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出角相等、邊相等，證出△ABP≌△ACE（SAS），得出對(duì)應(yīng)角相等，證出∠BAC=∠ACF，從而證出結(jié)論．
（2）由△ABP≌△ACE得出∠APB=∠AEC=90°，再由等邊三角形的性質(zhì)得出P為BC的中點(diǎn)．

解答：證明：（1）∵△ABC、△APE是等邊三角形，
∴∠BAC=∠PAE=∠B=60°，AB=AC，AF=AE，
∴∠BAP=∠CAE，
在△ABF和△ACE中，

AB=AC   ∠BAF=∠CAE   AF=AE

∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACP=60°，
∴∠BAC=∠ACF，
∴AB∥CE；
（2）存在點(diǎn)P使得AE⊥CE．此時(shí)P為BC的中點(diǎn)；理由如下：
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
由（1）得：△ABP≌△ACE，
∴∠APB=∠AEC=90°，
∴AP⊥BC，
∵AB=AC，
∴P為BC的中點(diǎn)．
∴存在點(diǎn)P，使得AE⊥CE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)；由等邊三角形證明三角形全等是關(guān)鍵．