Question

如圖1，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CB勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CA勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)D、E同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)D作BC的垂線l交AB于點(diǎn)P，連接DE、PE．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（t＞0）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PDE的面積為4.5cm²？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PDE的外心恰好在它的一條邊上？
（3）作點(diǎn)E關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E′．是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)E′恰好落在△ABC的外接圓上？若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)DP∥AC得到△BDP∽△BCA，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等表示出DP=6-

3

2

t，利用若△PDE的面積為4.5列出有關(guān)t的方程求得t值即可；
（2）分當(dāng)∠PED=90°和當(dāng)∠DPE=90°時(shí)，分別利用△CDE∽△EPD，和線段CE=DP兩種情況得到有關(guān)t的方程求解即可；
（3）分別表示出ON=3-t，NE′=4t-4，在Rt△ONE中利用勾股定理得到ON²+NE²=OE²，從而得到有關(guān)t的一元二次方程求解，但要注意舍去不符合題意的根．

解答：解：（1）由題意得BD=8-2t，
∵DP∥AC
∴△BDP∽△BCA，
∴

BD

BC

=

DP

AC

∴

8-2t

8

=

DP

6

∴DP=6-

3

2

t
若△PDE的面積為4.5，
則

1

2

（6-

3

2

t）×2t=4.5
解得：t=1或3，
∴當(dāng)t=1或3時(shí)，△PDE的面積為4.5；

（2）顯然，∠PDE≠90°，
當(dāng)∠PED=90°時(shí)，如圖1，
△CDE∽△EPD，
∴

CE

DE

=

DE

DP

∴

t

5 t

=

5 t

6- 3 2 t

解得：t=

12

13

當(dāng)∠DPE=90°時(shí)，如圖2，
CE=DP
∴t=6-

3

2

t
解得：t=

12

5

∴當(dāng)t=

12

13

或

12

5

時(shí)，△PDE的外心恰好在它的一條邊上．

（3）存在；
如圖3，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作OM⊥BC交EE′于點(diǎn)N，ON=3-t，NE′=4t-4，
在Rt△ONE中，ON²+NE²=OE²
∴（3-t）²+（4t-4）²=25
解得：t=0（舍去），t=

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點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的綜合知識(shí)，特別是題目中多次用到的利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到有關(guān)時(shí)間t的方程，充分體現(xiàn)了方程思想，能有機(jī)的和中考題結(jié)合起來．