Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD．
（1）求證：BD平分∠ABC；
（2）當(dāng)∠ODB=30°，BC=

3

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：圓周角定理,勾股定理,垂徑定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)垂徑定理得到弧CD=弧AD，然后根據(jù)圓周角定理得∠CBD=∠DBA；
（2）由于∠OBD=∠ODB=30°，則∠ABC=60°，再根據(jù)半圓（或直徑）所對的圓周角是直角得到∠ACB=90°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．
可得到直徑AB的長，則即可得到圓的半徑．

解答：（1）證明：∵OD⊥AC，
∴弧CD=弧AD，
∴∠CBD=∠DBA，
∴BD平分∠ABC；

（2）解：∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB=30°，
∴∠ABC=60°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=

3

，
∴AB=2BC=2

3

，
∴⊙O的半徑為

3

．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．